Nesbittin epäyhtälö

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Nesbittin epäyhtälön (1903) mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b ja c on voimassa

Nesbittin epäyhtälö voidaan todistaa suuruusjärjestysepäyhtälön avulla. Nesbittin epäyhtälö on kuuluisin erikoistapaus yleisemmästä Shapiron epäyhtälöstä.

Yksinkertainen todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään , ja . Tällöin luvut , ja ovat myös positiivisia ja , ja . Sijoittamalla nämä Nesbittin epäyhtälön vasempaan puoleen saamme

sillä positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina .

Jos nimittäin olisi positiivinen reaaliluku, niin olisi

mistä väite seuraa.

Yleistys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ,missä on kokonaisluku, mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja ja . Tällöin

Perustelu. Tapaus on yhtäpitävä sen kanssa, että positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina . Tapaus esitettiin ja perusteltiin tätä tulosta käyttäen edellä. Suuremmilla luvun arvoilla epäyhtälön todistus onnistuu samaa tekniikkaa käyttäen.

Esimerkiksi neljälle positiiviselle reaaliluvulle pätee siis

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.