Neliö (geometria)

Neliö ABCD ja lävistäjä d.

Neliö on geometriassa nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat suoria eli 90°.

Neliö on tasasivuinen- ja tasakulmainen- eli säännöllinen monikulmio. Neliö on myös yksinkertainen monikulmio, joka on lisäksi konveksi. Koska vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, kuuluu neliö suunnikkaisiin.

Neliö, jolla on kärkinä pisteet A, B, C ja D, voidaan merkitä $\Box ABCD.$

Erityispiirteet

Konveksi nelikulmio on neliö jos ja vain jos

• se on nelikulmio, jonka lävistäjät ovat yhtä pitkät ja kohtaavat toisensa kohtisuoraan.
• se on nelikulmio, jolla on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa.
• se on suunnikas, jolla on yksi suora kulma ja kaksi vierekkäistä ja yhtä pitkää sivua.
• se on neljäkäs, jolla on suora kulma.
• se on neljäkäs, jolla on kaikki kulmat yhtä suuria.
• se on neljäkäs, jolla on lävistäjät yhtä pitkät.
• se on suorakulmio, jolla on kaksi vierekkäistä ja yhtäpitkää sivua.

Ominaisuudet

Neliön mittoja. Ympäri ja sisälle piirretyt ympyrät.

Neliöllä on monia suunnikkaan ominaisuuksia. Esimerkiksi vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Neliö on symmetrinen pisteen O suhteen, mikäli kuvion kaikille pisteille löytyy O:n vastakkaiselta puolelta, ja yhtä etäältä, kuvion oma piste. Neliöllä on symmetriapiste lävistäjien leikkauspisteessä O, joten sitä kutsutaan pistesymmetriseksi O:n suhteen. Neliö on myös symmetrinen symmetria-akselien suhteen. Tällaisia akseleita ovat molemmat lävistäjät ja sivujen suuntaiset neliön puolittajasuorat.

Kulmat

Yksinkertaisen nelikulmion (kulmien lukumäärä n = 4) sisäkulmien summa on

$S=(n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }.$

Koska neliö on tasakulmainen kuvio, ovat kulmat yhtä suuria eli

$\alpha ={\tfrac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }.$ Neliö on siten suorakulmainen nelikulmio eli suorakulmio.

Neliön lävistäjät puolittavat sisäkulmat ja leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, ja lisäksi mediaani vastaiselle sivulle erottaa (kuviossa e) neliöstä kolmion, jonka terävä kulma on β = arctan 0,5 ≈ 26,5650118°. Lävistäjät muodostavat sivua vastaan keskuskulman, joka on 90°.

Lävistäjät

Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina ${\tfrac {n(n-3)}{2}}={\tfrac {4(4-3)}{2}}=2$ lävistäjää, jotka neliössä ovat saman pituiset (merkitään tässä d). Kun neliön sivun pituus on $a$, ovat lävistäjät

$d=2a\sin 45^{\circ }=2a{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}=a{\sqrt {2}}.$

Lävistäjät puolittavat neliössä toisensa.

Neliön lävistäjä toi luvun ${\sqrt {2}}$ ensimmäisen kerran antiikin kreikkalaisten tietoisuuteen. He havaitsivat silloin, ettei sen arvoa voinut ilmaista murtolukumerkinnällä, mikä johti lukualueen laajennuksiin. Lukua ei pidetty yhteismitallisena.

Sisä- ja ympärysympyrät

Koska neliö on säännöllinen monikulmio, voidaan sen ympäri ja sisään aina piirtää ympyrät. Sisä- ja ympärysympyröiden keskipisteet ovat samalla symmetriapisteet.

Sisäympyrä sivuaa neliön sivuja sen sisäpuolelta, jolloin sen säde $r$ on puolet sivun pituudesta

$r={\tfrac {a}{2}}.$

Sisäympyrän sädettä kutsutaan säännöllisen monikulmion apoteemaksi tai myös pieneksi säteeksi. Koska neliön sisään voidaan piirtää ympyrä, on myös tangentiaalinen monikulmio, ja erityisesti tangentiaalinen nelikulmio.

Ympärysympyrän, joka kiertää neliötä jokaisen kärjen kautta, halkaisija on neliön lävistäjän $d$ pituinen. Ympärysympyrän säde on puolet siitä eli

$R={\tfrac {d}{2}}={\tfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\tfrac {a}{\sqrt {2}}}.$

Ympärysympyrän sädettä kutsutaan myös suureksi säteeksi. Koska neliön ympäri voidaan aina piirtää ympyrä, on se myös syklinen monikulmio. Syklinen nelikulmio, joka on samalla tangentiaalinen nelikulmio, on myös bisentrinen nelikulmio.

Mittoja

Yleisesti tunnettuja neliön mittoja ovat muun muassa

• Piiri: $p=4a=2d{\sqrt {2}}=8r=4R{\sqrt {2}}$
• Pinta-ala: $A=a^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}=4r^{2}=2R^{2}$
• Jana e: $e={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}a$

Konstruktio

Eräs tapa piirtää neliö käyttäen vain harppia ja viivainta.

Eräs helppo tapa konstruoida neliö on käyttää kohtisuoruuden ominaisuuksia. Piirretään ensin puolisuora, jonka päättyvään päähän mitataan neliön haluttu sivun pituus. Mitattuun pisteeseen pyöräytetään pienempi ympyrä, jonka leikkauspisteet puolisuoran kanssa merkitään. Hieman suuremmalla säteellä piirretään leikkauspisteistä ympyrän kaaret, jotka leikkaavat toisensa kahdesti. Uusien leikkauspisteiden kautta piirretään ylöspäin puolisuora. Puolisuora katkaistaan sivun pituudeksi. Nyt on kaksi sivua, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja neliöstä tunnetaan kolme kärkeä.

Otetaan sivun pituus harppiin ja piirretään pienet toisiaan leikkaavat kaaret kummankin sivun kauimmaisista päätepisteistä. Tämä leikkauspiste on neliön viimeisen kulman paikka. Piirretään viivaimella viimeiset kaksi sivua.

Neliön konstruointiin on lukuisia erilaisia tapoja.

Muuta erikoista

Pythagoraan lause

Neliöitä apuna käyttäen voidaan todistaa mm. Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö.

Pinta-alan käsite

Neliön muotoinen alue, joka on sivumitaltaan 5 metriä, voidaan jakaa 25:een neliömetrin kokoisiin neliöihin. Pinta-ala on silloin 25 m². Neliöluvut ovat samaa perua.

Pinta-alan suure ilmaistaan käyttämällä vertailualaa neliönmuotoisia mittayksiköitä. Pinta-alan johdannaisyksikkö on neliömetri, jolla tarkoitetaan metrin pituisten sivujen rajaamaa neliötä. Neliö on hyvä alan yksikön muoto, sillä se on helppo muodostaa (jopa likimääräisesti) ja neliöitä voidaan "laatoittaa" tasoalueelle aukottomasti.

Muita pinta-alan yksiköitä on paljon, mutta neliömetristä voidaan muodostaa kerrannaisyksiköitä jakamalla sivut 10-osiin, jolloin alue jakaantuu 100-osiin. Tämän vuoksi alan suhdeluku on sata, ja esim. 1 m² kokoiselle neliölle mahtuu 100 pienempää 1 dm² kokoista neliötä.

Neliöluvut

Neliöluvut ovat pinta-alan peruja. On ollut hyödyllistä muistaa tiettyjä lukuja, koska ne on muodostettu luonnollisten lukujen neliöinä. Neliöjuuri on siten neliöluvun $a$ synnyttävä luku $b$

${\sqrt {a}}=b,$ koska $b^{2}=a.$

Alan jako kolmeen

Esimerkki neliön jakamisesta kolmeen yhtä suureen osaan.

Jaettaessa neliö kolmeen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan kuvassa esitetyllä tavalla sivut jakautuvat kokonaislukusuhteissa.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.9.2013).
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.