Moreran lause

Kompleksianalyysissä Moreran lauseen mukaan alueessa D määritelty jatkuva kompleksiarvoisen funktion f integraali pitkin kaikkia umpinaisia paloittain säännöllisiä polkuja. Siis

$\int _{D}f(z)\,dz=0$

kaikilla D:n umpinaisilla paloittain säännöllisillä poluilla. Siten jos f on yksinkertainen suljettu käyrä, on f holomorfinen jokaisessa D:n pisteessä.

Todistus

$\int _{C}f(z)\,dz=0$

kaikilla umpinaisilla säännöllisillä poluilla C. Siten jokaiselle kahdelle yksinkertaiselle käyrälle γ₁ ja γ₂ D:n sisällä, joka alkaa pisteestä z₀ ∈ D ja loppuu pisteeseen z ∈ D, on voimassa

$\int _{\gamma _{1}}f(w)\,dw=\int _{\gamma _{2}}f(w)\,dw,$

joten

$F(z)=\int _{\gamma _{1}}f(w)\,dw=\int _{\gamma _{2}}f(w)\,dw$

on olemassa. Tämä on holomorfinen funktio ja

$f(z)=F'(z)\,$

on myös holomorfinen.

Käyttö

Moreran lausetta voidaan käyttää osoittamaan summista tai integraaleista koostuvien funktioiden analyyttisyys. Esimerkkeinä tästä on Riemannin zeeta-funktio

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

ja Gammafunktio

$\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.$

Moreran lause antaa myös nopean todistuksen sille, että jono f_n(z) analyyttisiä funktioita kompleksitason avoimessa joukossa D suppenee kohti funktiota f(z) tasaisesti jokaisessa kompaktissa osajoukossa K, on f analyyttinen. Ehto voidaan helposti rajoittamaan tapaukseen, missä K on suljettu kiekko.