Lukujonon raja-arvo

Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymistä ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty luettelo lukuja, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono hajaantuu.

Määritelmä

Lukujonon $(x_{n}\,\!)$ raja-arvo on sellainen luku $L$, että kaikilla $\epsilon >0$ on olemassa $n_{0}\in \mathbb {N}$ siten, että $|x_{n}-L|<\epsilon$, kun $n>n_{0}$. Sitä, että lukujonon $(x_{n})\,\!$ raja-arvo on $L$, merkitään

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun $n$ kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

$(1-0{,}1^{n})=0{,}9;0{,}99;0{,}999...,1-0{,}1^{n};...\,\!$

Sen raja-arvo on 1 eli $\lim(1-0,1^{n})=1$ .

Sarjan raja-arvo

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

• $1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {1}{10000}}+...=1,11111...=1{\frac {1}{9}}$

ja

• $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...=2$

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

• $1+1+1+1+1+...$ ,
• $1+2+3+4+5+...$

ja

• $1+2+4+8+16+...$.

Sarja x₁ + x₂ + x₃ + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli $\lim(x_{n})=0$. On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...$.

Ominaisuuksia

• Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
• Suppeneva jono on aina rajoitettu
• Jos $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ja $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

Tällöin pätee

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b$ .

$\lim _{n\to \infty }(rx_{n})=ra$ . $r\in \mathbb {R}$

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=ab$

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}/y_{n})=a/b$