Lukujonon raja-arvo

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymista ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono hajaantuu. [1]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujonon raja-arvo on sellainen luku , että kaikilla on olemassa siten, että , kun . Sitä, että lukujonon raja-arvo on , merkitään

.

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

Sen raja-arvo on 1 eli .

Sarjan raja-arvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

ja

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

  • ,

ja

  • .

Sarja x1 + x2 + x3 + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli . On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja

.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
  • Suppeneva jono on aina rajoitettu
  • Jos ja

Tällöin pätee

.
.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 96–98 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.