Siirry sisältöön
Päävalikko
Päävalikko
siirrä sivupalkkiin
piilota
Valikko
Etusivu
Tietoja Wikipediasta
Kaikki sivut
Satunnainen artikkeli
Toimintosivut
Osallistuminen
Ohje
Kahvihuone
Ajankohtaista
Tuoreet odottavat muutokset
Tuoreet muutokset
Haku
Hae
Ulkoasu
Lahjoitukset
Luo tunnus
Kirjaudu sisään
Henkilökohtaiset työkalut
Lahjoitukset
Luo tunnus
Kirjaudu sisään
Sivut kirjautumattomille muokkaajille
lue lisää
Muokkaukset
Keskustelu
Sisällysluettelo
siirrä sivupalkkiin
piilota
Johdanto
1
Rationaalifunktiot
2
Eksponenttifunktiot
3
Logaritmifunktiot
4
Trigonometriset funktiot
5
Arkusfunktiot
6
Hyperboliset funktiot
7
Lähteet
8
Kirjallisuutta
Vaihda sisällysluettelo
Luettelo integraaleista
43 kieltä
Afrikaans
Anarâškielâ
العربية
Bahasa Indonesia
বাংলা
Башҡортса
Bosanski
Български
Català
Чӑвашла
Čeština
Deutsch
English
Español
Euskara
فارسی
Français
Galego
客家語 / Hak-kâ-ngî
한국어
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
Latviešu
Lietuvių
Lombard
Magyar
Македонски
Nederlands
日本語
ភាសាខ្មែរ
Português
Română
Русский
Slovenščina
Српски / srpski
Srpskohrvatski / српскохрватски
தமிழ்
Татарча / tatarça
Tiếng Việt
Türkçe
Українська
中文
Muokkaa linkkejä
Artikkeli
Keskustelu
suomi
Lue
Muokkaa
Muokkaa wikitekstiä
Näytä historia
Työkalut
Työkalut
siirrä sivupalkkiin
piilota
Toiminnot
Lue
Muokkaa
Muokkaa wikitekstiä
Näytä historia
Yleinen
Tänne viittaavat sivut
Linkitettyjen sivujen muutokset
Ikilinkki
Sivun tiedot
Viitetiedot
Lyhennä URL-osoite
Lataa QR-koodi
Tulosta/vie
Lataa PDF-tiedostona
Tulostettava versio
Muissa hankkeissa
Wikidata-kohde
Ulkoasu
siirrä sivupalkkiin
piilota
Wikipediasta
Tässä on luettelo tavallisimpien matemaattisten operaattoreiden sekä funktioiden
integraaleista
.
Rationaalifunktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
k
d
x
=
k
x
+
C
{\displaystyle \int k\,dx=kx+C}
∫
x
a
d
x
=
x
a
+
1
a
+
1
+
C
(
a
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad \ (a\neq -1{\text{)}}\,\!}
∫
(
a
x
+
b
)
n
d
x
=
(
a
x
+
b
)
n
+
1
a
(
n
+
1
)
+
C
(
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad \ (n\neq -1{\text{)}}\,\!}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}
∫
c
a
x
+
b
d
x
=
c
a
ln
|
a
x
+
b
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
Eksponenttifunktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
{\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}
∫
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
d
x
=
e
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}
Logaritmifunktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}
∫
log
a
x
d
x
=
x
log
a
x
−
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C}
Trigonometriset funktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
2
x
2
)
+
C
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
2
x
2
)
+
C
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
Arkusfunktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
|
x
|
≤
+
1
{\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\vert x\vert \leq +1}
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
|
x
|
≤
+
1
{\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\vert x\vert \leq +1}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
,
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,}
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
,
{\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,}
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
|
x
(
1
+
1
−
x
−
2
)
|
+
C
,
|
x
|
≥
+
1
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,\vert x\vert \geq +1}
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
|
x
(
1
+
1
−
x
−
2
)
|
+
C
,
|
x
|
≥
+
1
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,\vert x\vert \geq +1}
Hyperboliset funktiot
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
,
x
≠
0
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,x\neq 0}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
,
x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,x\neq 0}
∫
d
x
sinh
a
x
=
1
a
ln
|
tanh
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\,}
∫
d
x
cosh
a
x
=
2
a
arctan
e
a
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ax}}={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\,}
Lähteet
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
Valtanen, Esko:
Matemaattisia kaavoja ja taulukoita
, s. 78–80.
Määritä julkaisija!
ISBN 978-952-9867-37-0
Kirjallisuutta
[
muokkaa
|
muokkaa wikitekstiä
]
Spiegel, Murray M.:
Mathematical Handbook of Formulas and Tables
. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill, 1992.
ISBN 0-07-060224-7
Luokat
:
Luettelot matematiikasta
Integraalilaskenta
Piilotetut luokat:
Sivut, joiden viitemallineissa on virheitä
Julkaisija-parametri puuttuu
Haku
Hae
Vaihda sisällysluettelo
Luettelo integraaleista
43 kieltä
Lisää aihe