Logistinen funktio

Logistisen funktion kuvaaja

Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen kasvufunktio, jolle nimen antoi Pierre François Verhulst vuonna 1844 tai 1845 tutkiessaan sitä populaation kasvun yhteydessä. Sillä voidaan mallintaa S:n muotoista käyrää, joka kuvaa jonkin populaation P kasvua. Alku­vaiheessaan kasvu on lähes ekspo­nenti­aalista, mutta kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan, kasvu hidastuu ja lopulta pysähtyy.

Yksinkertainen logistinen funktio määritellään yhtälöllä

$P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}$

missä muuttujan P voidaan tulkita tarkoittavan populaatiota ja muuttujan t aikaa. Kun t saa kaikki reaalilukuarvot −∞:stä +∞:ään, saadaan S:n muotoinen käyrä. Käytännössä eksponenttifunktion e^−t luonteesta johtuen riittää laskea funktion arvot t:n ollessa rajallisella välillä, esimerkiksi välillä [−6, +6].

Logistisella funktiolla on sovelluksia useilla aloilla kuten keino­tekoisten neuroverkkojen tutkimuksessa, biologiassa, bio­matema­tiikassa, demografiassa, talous­tieteessä, kemiassa, matemaatti­sessa psyko­logiassa, toden­näköisyys­laskennassa, sosiologiassa, politiikan tutkimuksessa ja tilasto­tieteessä. Sen derivaatta on

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}P(t)=P(t)\cdot (1-P(t)).\,$

Funktiolla on myös seuraava ominaisuus:

$1-P(t)=P(-t).\,$

Näin ollen funktio P − 1/2 on pariton funktio.

Logistinen differentiaaliyhtälö

Logistinen funktio saadaan epälineaarisen differentiaaliyhtälön

${\frac {d}{dt}}P(t)=P(t)(1-P(t))$

ratkaisuna, missä P on ajan t funktio, ja asettamalla reunaehto P(0) = 1/2. Tämä yhtälö on logistisen kuvauksen jatkuva versio.

Kvalitatiivisesti funktion käyttäytyminen on helposti ymmärrettävissä siten, että sen derivaatta on 0, kun P = 0 tai 1, positiivinen, kun P on 0:n ja 1:n välillä sekä negatiivinen, kun P on suurempi kuin 1 tai pienempi kuin 0 (joskaan sovelluksissa populaatio yleensä ei voi olla negatiivinen). Tämän vuoksi käyrän nolla­kohdassa on epä­vakaa tasa­paino­tila ja kohdassa P=1 vakaa tasa­paino­tila, ja millä tahansa P:n arvolla, joka on 0:n ja 1:n välillä, P kasvaa kohti arvoa 1.

Tälle differentiaali­yhtälölle voidaan löytää yleinen ratkaisu

$P(t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+e^{c}}}$

Kun tässä vakion e^c  arvoksi valitaan 1, saadaan logistiselle käyrälle toinen yleisesti käytetty määritelmä:

$P(t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}\!={\frac {1}{1+e^{-t}}}\!$

Tästä voidaan nähdä, että logistinen käyrä osoittaa varhaista eksponenti­aalista kasvua nega­tiivi­silla t:n arvoilla, mutta kasvu hidastuu lineaariseksi lähellä arvoa t = 0 ja lähestyy sen jälkeen asymptoottisesti arvoa y = 1 siten, että erotus pienenee eksponenti­aalisesti.

Logistisella funktiolla ja hyperbolisella tangentilla on yhteys

$2\,P(t)=1+\tanh \left({\frac {t}{2}}\right).$

Ekologiassa: Populaation kasvun mallinnus

Pierre-François Verhulst (1804–1849)

Logistisen yhtälön tyypillinen sovellus on populaation kasvun mallinnus, jonka ensimmäisenä esitti Pierre-François Verhulst vuonna 1838 olettaen, että muiden tekijöiden ollessa samat, väestön lisääntymisvauhti on verrannollinen sekä kulloiseenkin populaatiokokoon että saatavilla oleviin resursseihin. Verhulst julkaisi yhtälönsä luettuaan Thomas Malthusin teoksen An Essay on the Principle of Population. Verhulst johti logistisen yhtälön kuvaamaan biologisen populaation rajallista kasvua. Yhtälöä sanotaan joskus myös Verhulst-Pearlin yhtälöksi, koska Pearl esitti saman asian uudestaan vuonna 1920. Alfred J. Lotka johti yhtälön uudestaan vuonna 1925 ja nimitti sitä populaation kasvun laiksi.

Kun P merkitsee populaation kokoa ja t aikaa, malli voidaan muodollisesti esittää differentiaaliyhtälöllä:

${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

missä vakio r merkitsee kasvuvauhtia ja K ympäristön kantokykyä.

Tämän yhtälön ensimmäinen termi +rP kuvaa varhaista, rajoittama­tonta kasvua. Vakion r arvo tarkoittaa populaation P suhteellista kasvua aika­yksikössä. Myöhemmin, kun populaatio kasvaa, toinen termi, auki kerrottuna −rP²/K tulee ensimmäistä suuremmaksi, kun populaation jäsenet joutuvat kilpailemaan keskenään jostakin kriittisestä resurssista kuten ravinnosta tai elin­tilasta. Tätä ilmiötä kutsutaan pullon­kaulaksi, ja sitä kuvaa parametrin K arvo. Tämä kilpailu vähentää kasvu­vauhtia, kunnes P lakkaa kasvamasta. Tätä tilaa kutsutaan populaation kypsyydeksi.

Jos yhtälön molemmat puolet jaetaan K:lla, saadaan

${\frac {d}{dt}}{\frac {P}{K}}=r{\frac {P}{K}}\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

Kun tähän sijoitetaan $x=P/K$, saadaan differentiaaliyhtälö

${\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)$

Kun $r=1$, saadaan edellä ensiksi esitetty tapaus.

Ekologiassa lajeja sanotaan joskus r-strategisiksi tai K-strategisiksi riippuen tavasta, jolla luonnonvalinta vaikuttaa niihin elämän eri vaiheissa. Yhtälön ratkaisu, kun $P_{0}$ on populaatio­koko alku­hetkellä, on

$P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}$

missä

$\lim _{t\to \infty }P(t)=K.\,$

Tämä merkitsee, että K on raja-arvo, jota P lähestyy äärettömän pitkän ajan kuluessa, mutta jota se ei koskaan saavuta. On kuitenkin huomattava, että populaatio­koko lähestyy asymptootti­sesti kanto­kykyä K riippumatta P:n arvosta, siinäkin tapauksessa, että alku­tilanteessa P(0) > K.

Ajasta riippuva kantokyky

Koska ympäristöolosuhteet vaikuttavat kanto­kykyyn, se voi vaihdella ajan kuluessa: K(t) > 0, mikä johtaa seuraavaan matemaattiseen malliin:

${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right)$

Erityisen huomattava tapaus on sellainen, jossa kanto­kyky vaihtelee jaksollisesti jakson ollessa T:

$K(t+T)=K(t).\,$

Voidaan osoittaa, että riippumatta alku­arvosta P(0) > 0, tällaisissa tapauksissa P(t) lähestyy yksi­käsitteistä jaksollista ratkaisua P_*(t), jonka jakso on T.

Tavallisimmassa tapauksessa jakso T on yksi vuosi, jolloin K(t) kuvastaa sään vaihtelua eri vuoden­aikoina.

Toinen mielen­kiintoinen tapaus on sellainen, jossa kantokyky K(t) riippuu populaatio­koosta aikaisemmalla hetkellä, koska populaatio itse muuttaa ympäristöään, mikä vaikuttaa tietyllä viiveellä myös sen kanto­kykyyn. Tämä johtaa logistiseen viive­yhtälöön, jonka ratkaisut voivat parametrien arvoista riippuen olla hyvin moninaisia. Ne voivat olla vakaita, monotonisesti kohti nollaa väheneviä, eksponentiaalisesti kasvavia, rajattomasti kasvavia mutta välillä hidastuvia, jonkin arvon molemmin puolin heilahtelevia tai päätyä nollaan äärellisessä ajassa, mikä merkitsee sukupuuttoa.

Neuroverkot

Logistisia funktioita käytetään usein neuroverkkojen yhteydessä epälineaarisuuden saamiseksi malleihin tai signaalien rajoittamiseksi tietylle välille. Tavallinen neuraalinen verkkoelementti laskee syöttösignaaleista lineaarikombinaation ja käyttää rajoitettua logistista funktiota tuloksen muodostamiseen; tätä voidaan pitää klassisen kynnysneuronin tasoitettuna muunnoksena.

Yleinen valinta funktioksi, jolla neuroverkkojen tulokset saadaan rajoitetuiksi, on

$g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}}\!$

jonka kuvaaja on logistisen käyrän muotoinen.

Tilastotieteessä

Tilastotieteessä logistisia funktioita käytetään moneen tarkoitukseen. Ensinnäkin logistisen jakauman kertymäfunktio on sellainen. Toiseksi niitä käytetään logistisessa regressiossa kuvaamaan, kuinka jonkin tapahtuman todennäköisyys p voi riippua joistakin selittävistä tekijäistä. Esimerkkinä voidaan mainita malli

$p=P(a+bx)\,$

missä x on selittävä muuttuja ja a ja b malliin sovitettavat parametrit.

Lääketieteessä: kasvainten kasvu

Logistista funktiota käytetään myös lääketieteessä, jossa logistista differentiaali­yhtälöä käytetään mallintamaan kasvainten kasvua. Niiden voidaan olettaa noudattavan samaa lakia kuin edellä selitetty populaation kasvun. Jos kasvaimen koolle hetkellä t käytetään merkintää X(t), sen koko ajan kuluessa kehittyy yhtälön

$X^{\prime }=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X$

mukaisesti, joka on tyyppiä:

$X^{\prime }=F\left(X\right)X,F^{\prime }(X)\leq 0$

missä F(X) on kasvaimen kasvuvauhti.

Jos kemoterapiassa lähdetään tilanteesta, jossa hoito jollakin toden­näköisyydellä tappaa syöpä­solun, yhtälö voidaan korjata muotoon

$X^{\prime }=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,$

missä c(t) kuvaa sitä, minkä toden­näköisyydellä hoito tappaa syöpä­solun. Ideaalisessa hyvin pitkän hoidon tapauksessa c(t) voidaan mallintaa jaksollisena funktiona (jaksona T) tai jatkuvan infuusion tapauksessa vakiona, jolloin yhtälö saadaan muotoon

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{c(t)\,dt}>r\Rightarrow \lim _{t\rightarrow +\infty }x(t)=0$

eli jos hoidon aikaansaama syöpä­solujen kuolleisuus on suurempi kuin niiden lisääntymis­vauhti, tauti saadaan parannetuksi. Tämä on tietysti hyvin yksin­kertaistettu malli sekä kasvusta että hoidosta, sillä tässä ei oteta huomioon potilaan vastustus­kykyä.

Kemiassa

Autokatalyyttisissä reaktioissa reaktiotuotteiden konsentraatiot kasvavat logistisen funktion mukaisesti.

Fysiikassa: Fermin jakauma

Logistinen funktio kuvaa fermionien tilastollista jakaumaa eri energiatiloissa systeemin ollessa termisessä tasapainossa. Se on Fermin-Diracin statistiikan mukainen jakauma, joka osoittaa, millä todennäköisyydellä kullakin mahdollisella energiatilalla on fermioni.

Kielitieteessä: kielen muutos

Kielitieteessä logistisella funktiolla voidaan mallintaa kielen muutosten leviämistä.. Uusi piirre kielessä, esimerkiksi uudissana, on aluksi harvinainen, mutta saattaa nopeasti yleistyä, mutta sen yleistyminen hidastuu sen tullessa vähitellen yleisesti omaksutuksi.

Taloustieteessä: innovaatioiden leviäminen

Logistisella funktiolla voidaan kuvata innovaatioiden leviämisestä niiden elinkaaren aikana. Näin sitä ovat käyttäneet useat IIASA: (International Institute of Applied Systems Analysis) tutkijat. Heidän tutkimuksensa koskevat useiden innovaatioiden, infrastruktuurien ja energianlähteiden leviämistä, työn merkitystä taloudessa sekä pitkin aikavälin taloudellisia syklejä. Viimeksi mainittuja on tutkinut Robert Ayres vuonna 1989. Cesare Marchetti on tutkinut samaan tapaan Kondratjevin syklejä ja innovaatioiden leviämistä. Arnulf Grüblerin kirja vuodelta 1990 sisältää yksityiskohtaista tietoa esimerkiksi kanavien, rautateiden, valtateiden ja lentoliikennteen kehityksestä ja osoittaa, että niiden yleistyminen on noudattanut logistista funktiota.

Carlota Perez käytti logistista käyrää kuvaamaan pitkän aikavälin taloudellisia syklejä eli Kondratjevin syklejä käyttäen seuraavia termejä: irruptio merkitsee jonkin teknologisen aikakauden alkua, vimma (frenzy) sen nousua, synergia nopeaa rakentumista ja maturiteetti valmistumista.

Kaksoislogistinen funktio

Kaksoislogistinen funktio on samantapainen kuin logistinen funktio, ja sillä on monia sovelluksia. Sen yleinen yhtälö on

$y=\mathrm {sgn} (x-d)\,{\Bigg (}1-\exp {\bigg (}-{\bigg (}{\frac {x-d}{s}}{\bigg )}^{2}{\bigg )}{\Bigg )},$

missä d on keskus ja s sen jyrkkyyttä kuvaava tekijä. Tässä "sgn" merkitsee merkkifunktiota, joka on +1, jos sen argumentti on positiivinen, ja -1, jos sen argumentti on negatiivinen.

Kaksoislogistinen funktio perustuu Gaussin käyrään, ja sen kuvaaja muistuttaa kahta logistista käyrää, jotka koskettavat toisiaan pisteessä x = d.

Sitä käytetään muun muassa aineiston epälineaariseen normalisointiin, ja sen ominaisuuksiin kuuluu, että se eliminoi muista suuresti poikkeavat tapaukset.

Lähteet

• Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer: Probabilistic Linguistics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2003. ISBN 0-262-52338-8.
• Gershenfeld, Neil A.: The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521-570954.
• Kingsland, Sharon E.: Modeling nature: episodes in the history of population ecology. Chicago: University of Chicago Press, 1995. ISBN 0-226-43728-0.
• Logistinen yhtälö Mathworldissa (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)

Aiheesta muualla

• L. J. Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve?, Viitattu 2009-09-12.
• Luna.cas.usf.edu (Arkistoitu – Internet Archive)
• Modeling Market Adoption in Excel with a simplified s-curve
• Logistinen funktio Mathworldissa (englanniksi)
• Online experiments with JSXGraph