Levi-Civita-symboli

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmiulotteisen Levi-Civita-symbolin graafinen esitys.

Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa.[1] Se on nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Levi-Civita-symbolin alaindeksien permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.

Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti [2]

 \epsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{jos } (i,j,k) \mbox{ on } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ tai } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{jos } (i,j,k) \mbox{ on } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ tai } (2,1,3), \\
0 & \mbox{jos } i=j,~ j=k \mbox{ tai } k=i,
\end{cases}

eli Levi-Civita-symboli saa arvon \scriptstyle \epsilon_{ijk} = 1, jos \scriptstyle (ijk) saadaan parillisella permutaatiomäärällä \scriptstyle (1,2,3):sta ja arvon \scriptstyle \epsilon_{ijk} = -1, jos \scriptstyle (ijk) saadaan parittomalla permutaatiomäärällä \scriptstyle (1,2,3):sta. Lisäksi, jos Levi-Civita-symbolissa on vähintään kaksi samaa alaindeksiä, se saa arvoksi \scriptstyle \epsilon_{ijk} = 0.

Levi-Civita-symboli determinantin esityksessä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää \scriptstyle A:n \scriptstyle 3 \times 3-matriisin determinantin laskemiseen seuraavasti

det A = \sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k},

missä siis \scriptstyle a:t ovat matriisin \scriptstyle A alkioita.

Levi-Civita-symboli ja Kroneckerin delta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti

\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = 
\det \begin{bmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{bmatrix}
\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \delta_{il}(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}) + \delta_{im}(\delta_{jn}\delta_{kl} - \delta_{jl}\delta_{kn}) + \delta_{in}(\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}) \,\!
\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}.

Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. The Language of Mathematics - Levi-Civita symbol (englanniksi)
  2. Permutation Symbol (html) Wolfram MathWorld. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.