Legendren liittofunktio

Legendren liittofunktiot ovat joukko funktioita, jotka tulevat usein vastaan erilaisissa fysiikan ja tekniikan sovelluksissa. Etenkin Laplacen yhtälön ratkaisussa pallokoordinaatistossa. Vaikka Legendren liittofunktiot voidaan lausua alkeisfunktioiden avulla, luonteensa vuoksi niitä pidetään usein erikoisfunktioina. Legendren liittofunktioista käytetään joskus myös nimitystä Legendren liittopolynomit tai assosioidut Legendren polynomit, vaikka vain osa liittofunktioista oikeastaan on polynomeja.

Legendren liittofunktiot $P_{n}^{m}(x)$ toteuttavat Legendren liittoyhtälön eli yleistetyn Legendren differentiaaliyhtälön

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+[n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}]y=0$

Yhtälössä esiintyvät parametrit $m$ ja $n$ ovat yleensä positiivisia kokonaislukuja ja niillä on ehto $n\leq m$, jotta yhtälöllä olisi muu ratkaisu kuin $y(x)=0\,$. Ensimmäiset Legendren liittofunktiot ovat

$P_{0}^{0}(x)=1$

$P_{1}^{1}(x)=(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{1}^{2}(x)=3x(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{1}^{3}(x)={\frac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$

$P_{2}^{3}(x)=15x(1-x^{2})$

$P_{3}^{3}(x)=15(1-x^{2})^{3/2}$

Liittofunktiot ovat polynomeja vain jos $m$ on parillinen. Erityisesti

$P_{n}^{0}(x)=P_{n}(x)$,

mikä tekee Legendren polynomeista liittofunktioiden erikoistapauksen.

Vaikka kaikki liittofunktiot eivät ole polynomeja, niillä on ortogonaalisten polynomien ominaisuuksia. Esimerkiksi Legendren liittofunktioita tuottava Rodriguesin kaava on

$P_{n}^{m}(x)={\frac {(1-x^{2})^{m/2}}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n+m}}{dx^{n+m}}}(x^{2}-1)^{n}$

tai helpommin niitä voi laskea rekursiokaavoilla

$(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x)=(2n+1)xP_{n}^{m}(x)-(n+m)P_{n-1}^{m}(x)$

$P_{n}^{m+2}(x)={\frac {2(m+1)x}{(1-x^{2})^{1/2}}}P_{n}^{m+1}(x)-(n-m)(n+m+1)P_{n}^{m}(x)$.

Ne ovat myös ortogonaalisia välillä $[-1,1]$ siten, että

$\langle P_{n}^{m},P_{k}^{m}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{n}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0,\;n\neq k$

ja liittofunktiot negatiivisilla $m$:n arvoilla on helppo saada positiivisista vastaavista

$P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}P_{n}^{m}(x)$.

Ortogonaalisten polynomien tapaan Legendren liittofunktiot muodostavat kantafunktiojoukon, jonka virittämässä kannassa voidaan esittää muita funktioita potenssisarjana. Legendren $m$:nsien liittofunktioiden avulla lausuttuna mielivaltaista funktiota $f(x)$ vastaa sarjakehitelmä

$f(x)=c_{m}P_{m}^{m}(x)+c_{m+1}P_{m+1}^{m}(x)+c_{m+2}P_{m+2}^{m}(x)+\ldots =\sum _{k=m}^{\infty }c_{k}P_{k}^{m}(x)$,

missä kertoimet $c_{k}$ saadaan integraalista

$c_{k}={\frac {2k+1}{2}}{\frac {(k-m)!}{(k+m)!}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{k}^{m}(x)dx$.

Kuten Legendren polynomit, myös Legendren liittofunktiot voidaan lausua sijoituksella $x=\cos \theta$. Tällöin ensimmäiset funktiot saavat muodot

$P_{0}^{0}(\cos \theta )=1$

$P_{1}^{1}(\cos \theta )=-\sin \theta$

$P_{2}^{1}(\cos \theta )=-3\cos \theta \sin \theta$

$P_{2}^{2}(\cos \theta )=3\sin ^{2}\theta$

$P_{3}^{1}(\cos \theta )=-{\frac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta$

$P_{3}^{2}(\cos \theta )=15\cos \theta \sin ^{2}\theta$

$P_{3}^{3}(\cos \theta )=-15\sin ^{3}\theta$

Tämä esitysmuoto on erityisen tärkeä, sillä sen avulla päästään käsiksi monissa yhteyksissä tärkeisiin palloharmonisiin funktioihin.