Kalkyyli

Kalkyyli on yksinkertaisimmillaan aksioomista ja syntaktisista päättelysäännöistä muodostuva merkkijonoihin liittyvä formaali systeemi.^lähde? Aksioomat ja päättelysäännöt (tai laskusäännöt) esittävät, mitä kalkyylissä voidaan päätellä, eli ne esittävät sen, kuinka mielivaltaista lausetta on lupa käsitellä.^lähde?

Yleensä vaaditaan, etteivät päättelysäännöt saa olla liian monimutkaisia ollakseen periaatteessa ihmisen käytettävissä.^lähde? Tämän ajatellaan usein tarkoittavan sitä, että päättelysääntöjä voi olla vain äärellinen määrä, ja että on oltava mekaanisesti ratkaistavissa, milloin sääntöä on sovellettu oikein, milloin väärin.^lähde?

Esimerkki kalkyylistä

Määritellään yksinkertainen kalkyyli:

Määritelmä. Merkki. Symbolit "U" ja "I" ovat merkkejä.

Määritelmä. Merkkijonon induktiivinen määritelmä.

1. Jos x on merkki, niin x on merkkijono.
2. Jos x ja y ovat merkkijonoja, niin jono xy on merkkijono.
3. Kaikki merkkijonot saadaan ehdoilla 1–2.

Aksiooma. "I" voidaan päätellä.

Päättelysääntö 1. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen "U", x ja "U" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä.

Päättelysääntö 2. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen x ja "I" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä.

Yllä olevat säännöt ovat hiukan monimutkaiset siksi, että ne huomioivat muuttujan ja merkin nimen välisen eron.^lähde? Esimerkiksi päättelysääntöjen käytöstä voimme todeta, että koska "I" voidaan päätellä, voidaan "UIU" päätellä. Tällä perustella myös "UIUI" voidaan päätellä säännön 2 nojalla.^lähde?

Kalkyyli ja ristiriitaisuus

Väite kalkyylin ristiriidattomuudesta ymmärretään usein väitteenä, että kaikkia mahdollisia merkkijonoja ei voida johtaa.^lähde?Semanttinen perustelu tälle on, että ristiriidasta seuraa jokaisen lauseen totuus, ja toisaalta jotta kalkyylin päättelysysteemi olisi mielekäs, on sen tuotettava tosia lauseita jos aksioomat ovat tosia.^lähde? Yllä oleva kalkyyli on tässä mielessä ristiriidaton, koska merkkijonoa "UI" ei voida johtaa aksioomasta eikä päättelysääntöjen avulla muodostetuista merkkijonoista.^lähde?

Jos kalkyyli sisältäisi symbolin negaatiolle (ks. predikaattilogiikka), voitaisiin täsmentää yllä käytettyä syntaktista ristiriidan käsitettä.^lähde? Tällöin sanoisimme, että jos lause ja sen negaatio ovat pääteltävissä kalkyylissä, on se ristiriitainen.^lähde? Jos vielä antaisimme semanttisen teorian kalkyylille, voisimme ottaa käyttöön semanttisen ristiriidan käsityksen, jonka mukaan kalkyyli on ristiriitainen jos se sisältää lauseen joka on sekä tosi ja epätosi.^lähde?

Katso myös

• Logiikka
• Matematiikka
• von Wright, Georg Henrik, 1945, Looginen Empirismi; Eräs nykyisen filosofian pääsuunta, suom. Hilppa Kinos, Otava, Helsinki, s. 141–69.