Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi.
Olkoon
minimointitehtävän kohdefunktio ja
rajoite-ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää


Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi

Kertoimia
kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion
ääriarvopisteessä
, jossa siis
. Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon.
Minimointitehtävä
ratkaistaan seuraavasti:
- kirjoita tehtävä funktiona

- etsi osittaisderivaatat muuttujien
ja
suhteen
- ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä
Langrangen funktio esimerkille

Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä

Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet (
,
,
) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä).
Olkoon
minimointitehtävän kohdefunktio ja
rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon
määräämien pisteiden joukkoa käyräksi
. Olkoot funktiot derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän
pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio
on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen
ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste
ei ole käyrän
päätepiste, ja gradientti
, on olemassa sellainen luku
niin, että piste
on ns. Lagrangen funktion

kriittinen piste. Toisin sanoen funktion
käyrällä
sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion
osittaisderivaatojen nollakohta



eli

Kohdefunktion

ja rajoitusehdon

gradientit Lagrangen funktion ratkaisupisteessä.
Lagrangen kerroin
voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria
tulee kertoa, että siitä tulee
yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista
optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin
aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet
valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion
gradientin.
Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan
muotoista tehtävää, missä
. Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli

missä
tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen.
Pisteen

etäisyys suoralta.
Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste
ja suora
, missä
ovat mielivaltaisia vakioita.
Minimoidaan etäisyyden funktio

ehdolla

Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto.
Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio

Ratkaistaan funktion
ääriarvot muuttujien
,
ja
suhteen etsimällä osittaisderivaattojen nollakohdat:

- Robert A. Adams (1999), Calculus: A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5.