Lagrangen kertoimet

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon minimointitehtävän kohdefuntio ja rajoite-ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää

Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi

Kertoimia kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion ääriarvopisteessä , jossa siis . Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Minimointitehtävä ratkaistaan seuraavasti:

  • kirjoita tehtävä funktiona
  • etsi osittaisderivaatat muuttujien ja suhteen
  • ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä

Langrangen funktio esimerkille

Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä

Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet (, , ) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä).

Menetelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon minimointitehtävän kohdefunktio ja rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon määräämien pisteiden joukkoa käyräksi . Olkoot funktiot derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste ei ole käyrän päätepiste, ja gradientti , on olemassa sellainen luku niin, että piste on ns. Lagrangen funktion

kriittinen piste. Toisin sanoen funktion käyrällä sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion osittaisderivaatojen nollakohta

eli

Geometrinen tulkinta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kohdefunktion ja rajoitusehdon gradientit Lagrangen funktion ratkaisupisteessä.

Lagrangen kerroin voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria tulee kertoa, että siitä tulee yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion gradientin.

Herkkyystulkinta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan muotoista tehtävää, missä . Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli

missä tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen.

Esimerkki: pisteen etäisyys suorasta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen etäisyys suoralta.

Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste ja suora , missä ovat mielivaltaisia vakioita.

Minimoidaan etäisyyden funktio

ehdolla

Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto.

Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio

Ratkaistaan funktion ääriarvot muuttujien , ja suhteen etsimällä osittaisderivaattojen nollakohdat:

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Robert A. Adams (1999), Calculus - A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.