Lämpöyhtälö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon

,

joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa , ja olkoon lämpötila, aineen sisäenergia (J/kg) ja lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

,

missä on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

,

missä on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

.

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

.

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

,

missä on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

.

Jos Fourierin lain kerroin (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

.
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Lämpöyhtälö.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.