Kvasisäännöllinen monitahokas

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kvasisäännölliset kuviot
Kolmiot tasasivuisia, (p q 2), CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png = r{p,q}
r{4,3} r{5,3} r{6,3} r{7,3}... r{∞,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4)2
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5)2
Uniform polyhedron-63-t1.png
(3.6)2
Triheptagonal tiling.svg
(3.7)2
H2 tiling 23i-2.png
(3.∞)2
Kolmiot tasakylkisiä, (p p 3), CDel branch 10ru.pngCDel split2-pp.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel p.pngCDel node.png = h{6,p}
h{6,4} h{6,5} h{6,6} h{6,7}... h{6,∞}
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-44.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-55.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-66.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-77.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png = CDel branch 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
H2 tiling 344-4.png
(4.3)4
H2 tiling 355-4.png
(5.3)5
H2 tiling 366-4.png
(6.3)6
H2 tiling 377-4.png
(7.3)7
H2 tiling 3ii-4.png
(∞.3)
Kolmiot tasakylkisiä, (p p 4), CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-pp.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png = h{8,p}
h{8,3} h{8,5} h{8,6} h{8,7}... h{8,∞}
CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-55.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png = CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-66.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png = CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-77.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png = CDel label4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
H2 tiling 334-1.png
(4.3)3
H2 tiling 455-1.png
(4.5)5
H2 tiling 466-1.png
(4.6)6
H2 tiling 477-1.png
(4.7)7
H2 tiling 4ii-1.png
(4.∞)
Kolmiot ei-tasakylkisiä, (5 4 3), CDel branch.pngCDel split2-45.pngCDel node.png
CDel branch 01rd.pngCDel split2-45.pngCDel node.png CDel branch.pngCDel split2-45.pngCDel node 1.png CDel branch 10ru.pngCDel split2-45.pngCDel node.png
H2 tiling 345-1.png
(3.5)4
H2 tiling 345-2.png
(4.5)3
H2 tiling 345-4.png
(3.4)5
Kvasisäännöllisissä monitahokkaissa ja laatoituksisa on kahdenlaisia säännöllisiä tahkoja tai laattoja, jotka vuorottelevat jokaisen kärkipisteen ympärillä. Niiden kärkikuviot ovat monikulmioita, joiden kaikki kulmat ovat yhtä suuria.
Säännölliset ja kvasisäännölliset kuviot
Kolmiot tasasivuisia, (p p 2), CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = r{p,p} = {p,4}1/2
{3,4}1/2
r{3,3}
{4,4}1/2
r{4,4}
{5,4}1/2
r{5,5}
{6,4}1/2
r{6,6}...
{∞,4}1/2
r{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel nodes.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3)2
Uniform tiling 44-t1.png
(4.4)2
H2 tiling 255-2.png
(5.5)2
H2 tiling 266-2.png
(6.6)2
H2 tiling 2ii-2.png
(∞.∞)2
Kolmiot tasakylkisiä, (p p 3), CDel node 1.pngCDel split1-pp.pngCDel branch.png = CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png|CDel 6.pngCDel node h0.png = {p,6}1/2
{3,6}1/2 {4,6}1/2 {5,6}1/2 {6,6}1/2... {∞,6}1/2
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.png
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
H2 tiling 344-2.png
(4.4)3
H2 tiling 355-2.png
(5.5)3
H2 tiling 366-2.png
(6.6)3
H2 tiling 3ii-2.png
(∞.∞)3
Isosceles triangle domains (p p 4), CDel node 1.pngCDel split1-pp.pngCDel branch.pngCDel label4.png = CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node h0.png = {p,8}1/2
{3,8}1/2 {4,8}1/2 {5,8}1/2 {6,8}1/2... {∞,8}1/2
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.png90x = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.png90x = CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.png90x = CDel node 1.pngCDel split1-55.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.png90x = CDel node 1.pngCDel split1-66.pngCDel branch.pngCDel label4.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.png90x = CDel node 1.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel label4.png
H2 tiling 334-4.png
(3.3)4
H2 tiling 444-2.png
(4.4)4
H2 tiling 455-2.png
(5.5)4
H2 tiling 466-2.png
(6.6)4
H2 tiling 4ii-2.png(∞.∞)4
Säännöllistä monitahokasta tai laatoitusta voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos sillä on parillinen määrä tahkoja jokaisen kärjen ympärillä, niin että sen tahkot voidaan värittää vuorottelevin värein.

Kvasisäännöllinen monitahokas on semiregulaarinen monitahokas, jolla on sivutahkoina kahdenlaisia säännöllisiä monikulmioita, jotka vuorottelevat monitahokkaan jokaisen kärjen ympärillä. Ne ovat särmätransitiivisia, eli ne voidaan kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä voi kuvautua mille tahansa toiselle, ja tässä suhteessa ne muistuttavat säännöllisiä monitahokkaita enemmän kuin semiregulaariset monitahokkaat, jotka ovat vain kärkitransitiivisia.

Kvasisäännöllisten monitahokkaiden duaalikappaleita sanotaan myös joskus kvasisäännöllisiksi. Ne kuitenkaan eivät ole kärkitransitiivisia, mutta kylläkin tahkotransitiivisia, ja niissä vuorottelee kaksi erilaista säännöllistä kärkikuviota.

On olemassa vain kaksi kuperaa kvasisäännöllistä monitahokasta, kuboktaedri ja ikosidodekaedri[1]. Nämä Keplerin antamat nimet perustuvat siihen, että edellinen voidaan konstruoida kuutiosta ja sen duaalikappaleesta, oktaedrista, joilla on yhteinen keskipiste jälkimmäinen vastaavasti ikosaedrista ja sen duaalikappaleesta, dodekaedrista. Näissä konstruktioissa kvasisäännöllisen monitahokkaan muodostaa kahden sellaisen säännöllisen monitahokkaan leikkaus eli molempien sisään jäävä avaruuden alue, joilla on yhteinen keskipiste.[1]

Nämä muodot, jotka edustavat säännöllisen kuvion ja sen duaalin muodostamaa paria, voidaan esittää Schläflin symboleilla tai r{p,q}, jotka osoittavat, että niihin sisältyvät sekä säännöllisen monitahokkaan {p,q} että sen duaalikappaleen {q,p} sivut.[1] Tämän symbolin kuvaamalla kvasisäännöllisellä monitahokkaalla on kärkikonfiguraatio p.q.p.q (tai (p.q)2).

Yleisemmin uniformisella kvasi­säännöllisellä kuviolla voi olla kärki­konfiguraatio (p.q)r, joka esittää r (2 tai useampaa) tapausta tahkoista kärjen ympärillä.

Myös tason tessellaatiot eli laatoitukset voivat olla kvasi­säännöllisiä, erityisesti triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärki­konfiguraatio on (3.6)2. Hyper­bolisella tasolla on muitakin kvasi­säännöllisiä laatoituksia kuten triheptagonaalinen laatoitus, (3.7)2, sekä yleisemmin (p.q)2, missä 1/p+1/q<1/2.

Sellaiset säännölliset monitahokkaat ja laatoitukset, joissa jokaisen kärjen ympärillä on parillinen määrä tahkoja, voidaan myös käsittää kvasi­säännöllisiksi jakamalla sellaisetkin sivutahkot, joilla on sama määrä sivuja, kahteen ryhmään, joita käsitellään eri tavalla. Ne voivat esimerkiksi olla eri värisiä. Säännöllinen kuvio, jonka Schläflin symboli on {p,q}, voidaan käsittää kvasi­säännölliseksi kärki­konfiguraatiolla (p.p)q/2, jos q on parillinen.

Täten oktaedri voidaan käsittää kvasi­säännölliseksi tetra­tetra­edriksi, jossa on osia kahden tetraedrin kolmiomaisista sivu­tahkoista, (3a.3b)2, värittämällä ne kahdella eri värillä. Samaan tapaan neliölaatoitusta (4a.4b)2, voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos sen ruudut on väritetty kahdella värillä shakkilaudan tavoin. Myös kolmio­laatoituksessa laatat voidaan vastaavalla tavalla värittää kahdella eri värillä, (3a.3b)3.

Wythoffin konstruktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Wythoffian construction diagram.png
Säännölliset (p | 2 q) ja kvasisäännölliset monitahokkaat (2 | p q) voidaan konstruoida Wythoffin konstruktiolla käyttämällä lähtökohtana yhtä perusalueen kolmesta kärkipisteestä. Tämä määrittelee perusalueelle yhden erityisen särmän.
Kvasisäännöllisiä monitahokkaita voidaan muodostaa Shcwarzin kolmioiden perusalueen kaikista kulmista, kun niissä ei ole suoria kulmia:
q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Coxeter määritteli kvasisäännöllisen monitahokkaan sellaiseksi, jonka Wythoffin symboli on muotoa p | q r, ja se on säännöllinen, jos q=2 tai q=r.[2]

Coxeterin–Dynkinin diagrammi on toinen symbolinen esitystapa, joka osoittaa kvasisäännöllisen relaation kahden duaalisen säännöllisen kappaleen välillä:

Schläflin symboli Coxeterin diagrammi Wythoffin symboli
{p,q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png q | 2 p
{q,p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png p | 2 q
r{p,q} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png tai CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png 2 | p q

Kuperat kvasisäännölliset monitahokkaat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Varsinaisia kuperia kvasisäännöllisiä monitahokkaita on kaksi: kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Molemmat kuuluvat myös Arkhimedeen kappaleisiin.[3] Lisäksi oktaedria, joka on samalla säännöllinen monitahokas, voidaan pitää myös kvasisäännöllisenä, jos sen sivut väritetään vuorotellen eri väreillä. Tässä muodossa siitä käytetään toisinaan nimitystä tetratetraedri.

Kuperien kvasisäännöllisten monitahokkaiden Schläflin symbolit, kärkikonfiguraatiot, Coxeterin diagrammit ja Wythoffin symbolit (oktaedri mukaan luettuna) ovat seuraavat:

monitahokas Schläflin symboli Kärkikonfiguraatio Coxeterin diagrammi Wythoffin symboli
Kuboktaedri 2{3,4} (3.4)2 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 2 | 3 4
Ikosidodekaedri 2{3,5} (3.5)2 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 2 | 3 5
Oktaedri 2{3,3} (3.3)2 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 2 | 3 3

Sekä kuboktaedri että ikosidodekaedri ovat samalla kahden keskenään duaalisen säännöllisen monitahokkaan yhteisiä ydinosia.[3] Niiden nimet viittaavat niihin monitahokaspareihin, joista ne voidaan täten muodostaa: sana kuboktaedri on muodostettu lisäämällä sanaan oktaedri etuliite kub-, joka johtuu kuutiota tarkoittavasta sanasta cube, ja vastaavasti sana ikosidodekaedri on yhdistetty sanoista ikosaedri ja dodekaedri. Vastaavalla tavalla oktaedri on kahden keskenään duaalisen tetraedrin yhteinen ydinosa[3] (nimellä stella octangula tunnettu muodostelma), ja tällä tavoin muodostettuna sitä sanotaan joskus myös tetratetraedriksi.

Säännöllinen Säännöllinen duaali Kvasisäännöllinen Särmäkuvio
Uniform polyhedron-33-t0.png
Tetraedri
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t2.png
Tetraedri
{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
3 | 2 3
Uniform polyhedron-33-t1.png
Tetratetraedri
r{3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 3
Tetratetrahedron vertfig.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t0.png
Kuutio
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 4
Uniform polyhedron-43-t2.png
Oktaedri
{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4 | 2 3
Uniform polyhedron-43-t1.png
Kuboktaedri
r{3,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 4
Cuboctahedron vertfig.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-53-t0.png
Dodekaedri
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5
Uniform polyhedron-53-t2.png
Ikosaedri
{3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5 | 2 3
Uniform polyhedron-53-t1.png
Ikosidodekaedri
r{3,4}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5
Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5

Kumpikin kvasi­säännöllinen moni­tahokas voidaan konstruoida typistämällä jompikumpi sen muodostavista säännöllisestä moni­tahokkaasta leikkaamalla siitä jokaisesta kärjestä pois niin suuri pala, että alku­peräisen moni­tahokkaan jokainen sivu kutistuu yhdeksi pisteeksi.

Kvasisäännölliset laatoitukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tätä sarjaa edustaa triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärkikuvio on (3.6)2. Se on 'kvasi­säännöllinen laatoitus, joka on yhdistelmä kolmio- ja kuusi­kulmio­laatoituksesta samaan tapaan kuin kvasi­säännölliset moni­tahokkaat ovat kahden säännöllisen monitahokkaan yhdistelmiä.

Säännöllinen Säännöllinen duaali Kvasisäännöllinen Kärkikuvio
Uniform tiling 63-t0.png
Heksagonaalinen laatoitus
{6,3}
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
6 | 2 3
Uniform tiling 63-t2.png
Kolmiolaatoitus
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 6
Uniform tiling 63-t1.png
Triheksagonaalinen laatoitus
r{6,3}

CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 6

Trihexagonal tiling vertfig.png
(3.6)2

Shakkilautamalli on neliölaatoituksen kvasisäännöllinen väritys, jonka kärkikuvio on (4.4)2:

Säännöllinen Säännöllinen duaali Kvasisäännöllinen Kärkikuvio
Uniform tiling 44-t0.svg
{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
4 | 2 4
Uniform tiling 44-t2.png
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png


4 | 2 4

Uniform tiling 44-t1.png
r{4,4}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 | 4 4
Square tiling vertfig.png
(4.4)2

Kolmiolaatoitus voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi. Sen muodostavat kolme vuorottelevaa kolmioiden joukkoa jokaisen kärjen ympärillä, (3.3)3:

Uniform tiling 333-t1.png
h{6,3}
3 | 3 3
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Hyperbolisella tasolla sarja jatkuu edelleen. Siihen kuuluu muun muassa triheptagonaalinen laatoitus jonka kärkikuvio on (3.7)2. Se on kvasisäännöllinen laatoitus, jonka saadaan yhdistelmänä kertaluvun 7 kolmiolaatoituksesta ja heptagonaalisesta eli seitsenkulmioiden muodostamasta laatoituksesta:

Säännöllinen Säännöllinen duaali Kvasisäännöllinen Kärkikuvio
Heptagonal tiling.svg
Heptagonaalinen laatoitus
{7,3}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
7 | 2 3
Order-7 triangular tiling.svg
Kolmiolaatoitus
{3,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 7
Triheptagonal tiling.svg
Triheptagonaalinen laatoitus
r{3,7}
CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 7
Triheptagonal tiling vertfig.png
(3.7)2

Ei-kuperia esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuonna 1954 H.S.M. Coxeter luokitteli myös muutamat samantapaiset tähtimonitahokkaat kvasisäännöllisiksi.[4]

Kaksi niistä voidaan muodostaa säännöllisten Kepler-Poinsotin kappaleiden duaalipareista samaan tapaan kuin edellä mainitut kuperat kvasisäännölliset kappaleet, nimittäin suuri ikosidodekaedri ja dodekadodekaedri [3]:

Säännöllinen Säännöllinen duaali Kvasisäännöllinen Kärkikuvio
Great stellated dodecahedron.png
Suuri tähtidodekaedri
{5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 | 2 5/2
Great icosahedron.png
Suuri ikosaedri
{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 3
Great icosidodecahedron.png
Suuri ikosidodekaedri
r{3,5/2}
CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2 | 3 5/2
Great icosidodecahedron vertfig.png
3.5/2.3.5/2
Small stellated dodecahedron.png
Pieni tähtidodekaedri
{5/2,5}
CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png
5 | 2 5/2
Great dodecahedron.png
Suuri dodekaedri
{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.png
5/2 | 2 5
Dodecadodecahedron.png
Dodekadodekaedri
r{5,5/2}
CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
2 | 5 5/2
Dodecadodecahedron vertfig.png
5.5/2.5.5/2

Näiden lisäksi on vielä yhdeksän hemipolyedriä, jotka saadaan leikkaamalla edellä mainituista kvasisäännöllisistä monitahokkaista paloja pois. Niissä on mukana ekvatoriaalisia tahkoja, jotka kulkevat alkuperäinen monitahokkaan keskipisteen kautta:

Kvasisäännöllinen (typistetty) Rectified tetrahedron.png
Tetratetraedri
Cuboctahedron.png
Kuboktaedri
Icosidodecahedron.png
Ikosidodekaedri
Great icosidodecahedron.png
Suuri ikosidodekaedri
Dodecadodecahedron.png
Dodekadodekaedri
Kvasisäännöllinen (hemipolyedri) Tetrahemihexahedron.png
Tetrahemihekeaedri
3/2 3 | 2
Octahemioctahedron.png
Oktahemioktaedri
3/2 3 | 3
Small icosihemidodecahedron.png
Pieni ikosihemidodekaedri
3/2 3 | 5
Great icosihemidodecahedron.png
Suuri ikosihemidodekaedri
3/2 3 | 5/3
Small dodecahemicosahedron.png
Pieni dodekahemikosaedri
5/3 5/2 | 3
Kärkikuvio Tetrahemihexahedron vertfig.png
3.4.3/2.4
Octahemioctahedron vertfig.png
3.6.3/2.6
Small icosihemidodecahedron vertfig.png

3.10.3/2.10
Great icosihemidodecahedron vertfig.png
3.10/3.3/2.10/3
Small dodecahemicosahedron vertfig.png
5/2.6.5/3.6
Kvasisäännöllinen (hemipolyedrit)   Cubohemioctahedron.png
Kubohemioktaedri
4/3 4 | 3
Small dodecahemidodecahedron.png
Pieni dodekahemidodekaedri
5/4 5 | 5
Great dodecahemidodecahedron.png
Suuri dodekahemidodekaedri
5/3 5/2 | 5/3
Great dodecahemicosahedron.png
Suuri dodekahemidodekaedri
5/4 5 | 3
Kärkikuvio   Cubohemioctahedron vertfig.png
4.6.4/3.6
Small dodecahemidodecahedron vertfig.png
5.10.5/4.10
Great dodecahemidodecahedron vertfig.png
5/2.10/3.5/3.10/3
Great dodecahemicosahedron vertfig.png
5.6.5/4.6

Sitä paitsi on kolme ditrigonaalista muotoa, jotka kaikki saadaan poistamalla palasia säännöllisestä dodekaedrista. Niiden kärkikuvioina esiintyy kolme muunelmaa kahdesta tahkotyypistä:

Kuva Monitahokkaan nimi
Wythoffin symboli
Coxeterin diagrammi
Kärkikuvio
Ditrigonal dodecadodecahedron.png Ditrigonaalinen dodekadodekaedri
3 | 5/3 5
Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png tai CDel node.pngCDel 5.pngCDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.png
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5.5/3)3
Small ditrigonal icosidodecahedron.png Pieni trigonaalinen ikosaedri
3 | 5/2 3
Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai CDel node h3.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(3.5/2)3
Great ditrigonal icosidodecahedron.png Suuri ditrigonaalinen ikosidodekaedri
3/2 | 3 5
Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai CDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
((3.5)3)/2

Euklidisella tasolla hemipolyedrien sarjaa jatkavat seuraavat neljä tähtimäistä laatoitusta eli tessellaatiota, joissa apeirogonit vastaavat edellä mainittuja ekvatoriaalisia monitahokkaita:

Alkuperäinen
suoritettu
laatoitus
Särmä-
kuvio
Kärki-
konfiguraatio
Wythoff Symmetria
Uniform tiling 44-t1.png
Neliö-
laatoitus
4.oo.4-3.oo tiling frame.png 4.∞.4/3.∞
4.∞.-4.∞
4/3 4 | ∞ p4m
Uniform tiling 333-t1.png
Kolmio-
laatoitus
3.oo.3.oo.3oo tiling-frame.png (3.∞.3.∞.3.∞)/2 3/2 | 3 ∞ p6m
Uniform tiling 63-t1.png
Triheksagonaalinen
laatoitus
6.oo.6-5.oo tiling-frame.png 6.∞.6/5.∞
6.∞.-6.∞
6/5 6 | ∞
∞.3.∞.3/2
∞.3.∞.-3
3/2 3 | ∞

Kvasisäännölliset duaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotkut kirjoittajat ovat sitä mieltä, että kun kvasisäännöllisten kappaleiden duaalikappaleilla on sama symmetria, näitä duaalikappaleitakin pitäisi nimittää kvasisäännöllisiksi. Kaikki eivät tätä terminologiaa kuitenkaan käytä. Nämä duaalikappaleet ovat transitiivisia särmiensä ja tahkojensa, mutta eivät kärkiensä suhteen; ne ovat särmätransitiivisia Catalanin kappaleita. Niistä kuperia ovat seuraavat:

  1. rombidodekaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: kahdeksan kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä kuusi kärkeä, joissa neljä tällaista tahkoa kohtaa toisensa.
  2. rombinen triakontaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: 20 kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä 12 kärkeä joissa viisi tällaista tahkoa kohtaa toisensa.

Sitä paitsi oktaedrin duaalikappale, kuutio, jota yleensä pidetään säännöllisenä monitahokkaata, voidaan käsittää myös kvasisäännölliseksi värittämällä sen kärjet vuorotellen eri väreillä.

Näiden tahkokonfiguraatiot ovat muotoa V3.n.3.n, ja Coxeterin–Dynkinin diagrammi on CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png.

Hexahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
Kuutio
V(3.3)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Rombidodekaedri
V(3.4)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Rombinen triakontaedri
V(3.5)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Rombinen laatoitus
V(3.6)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
V(3.7)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png
V(3.8)2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png

Näillä kvasisäännöllisillä duaaleilla on sivutahkoina vinoneliöitä eli neljäkkäitä. Niiden sarjaa jatkaa rombinen laatoitus, V(3.6)2.

Kvasisäännölliset polytoopit ja hunajakennot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Korkeammissa ulottuvuuksissa Coxeter määritteli kvasisäännöllisen polytoopin tai hunajakennon sellaiseksi, jolla on säännölliset sivut ja kvasisäännölliset kärkikuviot. Tästä seuraa, että sen kaikki kärkikuviot ovat yhtenevät ja että siinä vuorottelevat kahdenlaiset sivut.[5]

Euklidisessa 4-avaruudessa säännööllinen 16-solu voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi, vuodottelevaksi tesseraktiksi, h{4,3,3}, jonka Coxeterin digrammi on: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = 9pxCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png ja joka muodostuu vuorottelevista tetraedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri eli oktaedri, jolla on tetraedrinen symmetria, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Euklidisessa 3-avaruudessa ainoa kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kuutiollinen hunajakenno h{4,3,4}, jonka Coxeterin diagrammi on seuraavanlainen: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. Se muodostuu vuorottelevista tetraedrin ja oktaedrin muotoisista soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kuboktaedri, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png.[5]

Hyperbolisessa 3-avaruudessa muuan kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kertaluvun 5 kuutiollinen hunajakenno, h{4,3,5}, jonka Coxeterin diagrammit ovat: CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. Se koostuu vuorottelevista tetraedrisista ja ikosaedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen ikosidodekaedri, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png. Se on sukua parakompaktille vuorottelevalle kertaluvun 6 kuutiolliselle hunajakennolle, h{4,3,6}, jossa vuorottelevat tetraedriset ja kuusikulmaiset solut ja jonka kärkikuvio on kvasisäännöllinen triheksagonaalinen laatoitus, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Muotoa {p,3,4) tai CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png olevien polytooppien ja hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png, jolloin saadaan kvasisäännöllinen muoto CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, jolla eri väriset {p, 3}-solut vuorottelevat. Tällaisiin tapauksiin kuuluu euklidinen kuutiollinen hunajakenno {4,3,4} kuutiomaisine soluineen, kompakti hyperbolinen {4,3,4} kenno dodekaedrin muotoisine soluineen sekä parakompakti {6,3,4}, äärettöminen kuusikulmaisen laatoituksen mukaisine soluineen. Niissä on neljä solua jokaisen kärjen ympärillä vuorottelevin värein. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä tetratetraedrejä, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png.

Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri,
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, joka on sama kuin säännöllinen oktaedri.

Samaan tapaan muotoa {p,3,6} tai CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png olevien säännöllisten hyperbolisten hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png, jolloin saadaan kvasisäännölliset muodot CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, joilla eri väriset {p,3} -solut vuorottelevat. Niissä jokaisen särmän ympärillä on kuusi solua, joilla vuorottelee kaksi väriä. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä kolmiolaatoituksia, CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png.

Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kolmiolaatoitus,
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png
Hyperboliset uniformiset hunajakennot: {p,3,6} ja {p,3[3]}
Muoto Parakompaktit Ei-kompaktit
Nimi Kertaluvun 6 tetraedrinen
{3,3,6}
{3,3[3]}
Kertaluvun 6 kuutiollinen
{4,3,6}
{4,3[3]}
Kertaluvun 6 dodekaedrinen
{5,3[3]}
Kertaluvun 6 heksagonaalinen
{6,3,6}
{6,3[3]}
Kertaluvun 3-6 heptagonaalinen
{7,3,6}
{7,3[3]}
Kertaluvun 3-6 oktagonaalinen
{8,3,6}
{8,3[3]}
Kertaluvun 3-6 apeirogonaalinen
{∞,3,6}
{∞,3[3]}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
Kuva H3 336 CC center.png H3 436 CC center.png H3 536 CC center.png H3 636 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 7-3-6 poincare.png Hyperbolic honeycomb 8-3-6 poincare.png Hyperbolic honeycomb i-3-6 poincare.png
Solut Tetrahedron.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Hexahedron.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecahedron.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-1.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Quasiregular polyhedron

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • P. Cromwell: Polyhedra. Cambridge University Press, 1977.
  • H.S.M. Coxeter: Regular Polytopes (3rd ed.), s. 17, 69. Dover Edition, 1973. ISBN 0-486-61480-8.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Quasiregular Polyhedron Wolfram MathWorld. Eric Weisstein. Viitattu 2.11.2018.
  2. H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra. (Kappale 7, The regular and quasiregular polyhedra p) Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954, nro 246 A, s. 401–450.
  3. a b c d Quasiregular Polyhedra George W. Hart. Viitattu 2.11.2018.
  4. Uniform Polyhedron Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 2.11.2018.
  5. a b H. S. M. Coxeter: ”Other honeycombs”, Regular Polytopes, s. 69, 88. {{{Julkaisija}}}.