Kuristusperiaate

Kuristusperiaate (myös kuristuslause) on analyysiin liittyvä lause funktion raja-arvon tai lukujonon raja-arvon määrittämiseksi: olkoot $b(x)$ , $a(x)$ ja $c(x)$ määriteltyjä $d$ :n lähellä siten, että

$\lim _{x\to d}b(x)=\lim _{x\to d}c(x)=A$ ja

$b(x)\leq a(x)\leq c(x)$ pätee $d$ :n lähellä.

Tällöin $\lim _{x\to d}a(x)=A$ .

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan tapauksessa $x\to d_{-}$ , tapaus $x\to d_{+}$ todistetaan vastaavalla tavalla (jos funktiot ovat lauseen ehtojen mukaisesti määriteltyjä, kun $x>d$ ).

Olkoon $\epsilon >0$ . Oletuksista seuraa, että on olemassa $\delta _{1}>0$ siten, että $|b(x)-A|<\epsilon$ , kun $d-\delta _{1}<x<d$ . Samaten on olemassa $\delta _{2}>0$ siten, että $|c(x)-A|<\epsilon$ , kun $d-\delta _{2}<x<d$ .

Valitaan $\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . Nyt $A-\epsilon <b(x)\leq a(x)\leq c(x)<A+\epsilon$ , kun $d-\delta <x<d$ , joten tällöin pätee $A-\epsilon <a(x)<A+\epsilon$ . Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön $|a(x)-A|<\epsilon$ kanssa.

Täten $\lim _{x\to d_{-}}a(x)=A$ . $\square$

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

$x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}$ ei ole määritelty, kun $x=0$ .

Sinifunktion ominaisuuksista tiedetään, että $-1\leq \sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq 1$ , kun $x\neq 0$ , joten $-x^{2}\leq x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq x^{2}$ . Koska $\lim _{x\to 0}-x^{2}=0$ ja $\lim _{x\to 0}x^{2}=0$ , niin kuristusperiaatteen nojalla $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}=0$ .