Konveksi funktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Reaaliarvoinen funktio voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin tai ei kumpikaan. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi .

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on konveksi, jos janan pisteiden arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Olkoon reaalilukujen osajoukko ja funktio.

Funkio on konveksi, jos

,

kaikille ja .[1]

Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden ja kautta kulkevan suoran arvo :n ja :n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

  1. Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
  2. Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
  3. Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
  4. Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
  5. Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä jos ja vain jos välillä .

Konkaavi funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio on konkaavi, jos

. [1]

Toisin sanoen funktio on konkaavi, jos funktio on konveksi.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 353 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.