Kommutoiva rengas

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat[1]. Jos on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille pätee .

Esimerkkejä kommutoivista renkaista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
  • Jäännösluokkarengas on kommutoiva kaikilla , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään , missä . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös .

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Reaalisten -matriisien rengas ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

ja .

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kommutoiva rengas. Merkitään renkaan yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) :llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) :llä. Tällöin

  1. Jos kaikilla ehdosta seuraa, että tai , niin on kokonaisalue.
  2. Jos kaikilla yhtälöllä on ratkaisu , niin on kunta.

Jos on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Parkkonen, Jouni: Algebra 2014 (s. 54) Jyväskylän yliopisto. Viitattu 13.1.2017.