Kahden potenssit

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin potenssiin; toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 100000...0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä.

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren numeron binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää 28=256 lukua eli luvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu.

Kahden potenssit ovat myös mitta tietokoneen muistin määrälle. Tavu on kahdeksan (23) bittiä. Kibitavu on 1024 (210) tavua. Myös lähes kaikki suorittimien rekisterien koot ovat kahden potensseja, joista 32 bittiä on tällä hetkellä yleisin.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Monissa kiintolevyssä sektorien koko, sektorien määrä uralla ja urien määrä on usein kahden potenssi. Lohkon koko on lähes aina kahden potenssi.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi usein käytetty resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen luvuksi. Esimerkiksi numero 31 on Mersennen luku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka taas on puolestaan kahden potenssi (25).

Ensimmäiset 40 kahden potenssia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

21
=
2
211
=
2 048
221
=
2 097 152
231
=
2 147 483 648
22
=
4
212
=
4 096
222
=
4 194 304
232
=
4 294 967 296
23
=
8
213
=
8 192
223
=
8 388 608
233
=
8 589 934 592
24
=
16
214
=
16 384
224
=
16 777 216
234
=
17 179 869 184
25
=
32
215
=
32 768
225
=
33 554 432
235
=
34 359 738 368
26
=
64
216
=
65 536
226
=
67 108 864
236
=
68 719 476 736
27
=
128
217
=
131 072
227
=
134 217 728
237
=
137 438 953 472
28
=
256
218
=
262 144
228
=
268 435 456
238
=
274 877 906 944
29
=
512
219
=
524 288
229
=
536 870 912
239
=
549 755 813 888
210
=
1 024
220
=
1 048 576
230
=
1 073 741 824
240
=
1 099 511 627 776

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

21 = 2
22 = 4
24 = 16
28 = 256
216 = 65 536
232 = 4 294 967 296
264 = 18 446 744 073 709 551 616
2128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko numero kahden potenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi:

x on kahden potenssi \Leftrightarrow (x & (x-1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä:

-1
=
1...111...1
-1
=
1...111...111...1
x
=
0...010...0
y
=
0...010...010...0
x-1
=
0...001...1
y-1
=
0...010...001...1
x & (x-1)
=
0...000...0
y & (y-1)
=
0...010...000...0