Kahden potenssit

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin potenssiinselvennä; toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 100000...0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä.

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren numeron binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää 28=256 lukua eli luvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu (1 024 = 210 tavua) ja mebitavu (1 048 576 = 220 tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024:ää tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576:ta tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi.[1] Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi usein käytetty resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi numero 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka taas on puolestaan kahden potenssi (25).

Ensimmäiset 40 kahden potenssia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

21 = 2 211 = 2 048 221 = 2 097 152 231 = 2 147 483 648
22 = 4 212 = 4 096 222 = 4 194 304 232 = 4 294 967 296
23 = 8 213 = 8 192 223 = 8 388 608 233 = 8 589 934 592
24 = 16 214 = 16 384 224 = 16 777 216 234 = 17 179 869 184
25 = 32 215 = 32 768 225 = 33 554 432 235 = 34 359 738 368
26 = 64 216 = 65 536 226 = 67 108 864 236 = 68 719 476 736
27 = 128 217 = 131 072 227 = 134 217 728 237 = 137 438 953 472
28 = 256 218 = 262 144 228 = 268 435 456 238 = 274 877 906 944
29 = 512 219 = 524 288 229 = 536 870 912 239 = 549 755 813 888
210 = 1 024 220 = 1 048 576 230 = 1 073 741 824 240 = 1 099 511 627 776

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

21 = 2
22 = 4
24 = 16
28 = 256
216 = 65 536
232 = 4 294 967 296
264 = 18 446 744 073 709 551 616
2128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko numero kahden potenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi:

x on kahden potenssi (x & (x-1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä:

-1 = 1...111...1 -1 = 1...111...111...1
x = 0...010...0 y = 0...010...010...0
x-1 = 0...001...1 y-1 = 0...010...001...1
x & (x-1) = 0...000...0 y & (y-1) = 0...010...000...0

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Prefixes for binary multiples physics.nist.gov. Viitattu 13.8.2019.