Jacobin polynomi

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

missä on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

missä

Tässä kokonaisluvulle on voimassa

ja on Gammafunktio, jolle kaikilla . Siten

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

kun ja .

Polynomeilla on symmetrisyysehto

ja siten

Reaaliluvuilla Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

missä ja . Jos neljä suuretta , , , and ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla () viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

Differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jacobi polynomiat ovat ratkaisuna yhtälölle