Jacobin polynomi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

missä (\alpha+1)_n on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

missä

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .

Tässä kokonaisluvulle n\, on voimassa


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

ja \Gamma(z)\, on Gamma-funktio, jolle 1/\Gamma(n+1) = 0\, kaikilla n=-1,-2,\dots\,. Siten


{z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0.

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon


\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} 
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm},

kun \alpha>-1 ja \beta>-1.

Polynomeilla on symmetrisyysehto

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z), ja siten
P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Reaaliluvuilla x Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s},

missä s \ge 0 \, ja  n-s \ge 0 \, . Jos neljä suuretta n, n+\alpha, n+\beta, and n+\alpha +\beta ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla d^j_{m' m}(\phi)\; (0\le \phi\le 4\pi) viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

Differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jacobi polynomiat P_n^{(\alpha,\beta)} ovat ratkaisuna yhtälölle


(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,