|
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
|
Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

missä
on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

missä

Tässä kokonaisluvulle
on voimassa

ja
on Gammafunktio, jolle
kaikilla
. Siten

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

kun
ja
.
Polynomeilla on symmetrisyysehto
ja siten

Reaaliluvuilla
Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

missä
ja
.
Jos neljä suuretta
,
,
, and
ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d82730cbf4eb92d90abc188c0de9c6aed3dac0c)
Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.
Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla
(
)
viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abcaf41d9baf29c60160c839c3d9e062c80ce9e)
Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

Jacobi polynomiat
ovat ratkaisuna yhtälölle
