Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja . Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista , missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
1
+
α
+
β
+
n
;
α
+
1
;
1
−
z
2
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}
missä
(
α
+
1
)
n
{\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
on Pochhammerin symboli) , (Abramowitz & Stegun p561 .) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
z
−
1
2
)
m
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
missä
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Tässä kokonaisluvulle
n
{\displaystyle n\,}
on voimassa
(
z
n
)
=
Γ
(
z
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
z
−
n
+
1
)
,
{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
ja
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\,}
on Gammafunktio , jolle
1
/
Γ
(
n
+
1
)
=
0
{\displaystyle 1/\Gamma (n+1)=0\,}
kaikilla
n
=
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle n=-1,-2,\dots \,}
. Siten
(
z
n
)
=
0
for
n
<
0.
{\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.}
Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},}
kun
α
>
−
1
{\displaystyle \alpha >-1}
ja
β
>
−
1
{\displaystyle \beta >-1}
.
Polynomeilla on symmetrisyysehto
P
n
(
α
,
β
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
z
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z),}
ja siten
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Reaaliluvuilla
x
{\displaystyle x}
Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
∑
s
(
n
+
α
s
)
(
n
+
β
n
−
s
)
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}
missä
s
≥
0
{\displaystyle s\geq 0\,}
ja
n
−
s
≥
0
{\displaystyle n-s\geq 0\,}
.
Jos neljä suuretta
n
{\displaystyle n}
,
n
+
α
{\displaystyle n+\alpha }
,
n
+
β
{\displaystyle n+\beta }
, and
n
+
α
+
β
{\displaystyle n+\alpha +\beta }
ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
!
(
n
+
β
)
!
∑
s
[
s
!
(
n
+
α
−
s
)
!
(
β
+
s
)
!
(
n
−
s
)
!
]
−
1
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.
Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla
d
m
′
m
j
(
ϕ
)
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}
(
0
≤
ϕ
≤
4
π
{\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
)
viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , Addison-Wesley, Reading, (1981)
d
m
′
m
j
(
ϕ
)
=
[
(
j
+
m
)
!
(
j
−
m
)
!
(
j
+
m
′
)
!
(
j
−
m
′
)
!
]
1
/
2
(
sin
ϕ
2
)
m
−
m
′
(
cos
ϕ
2
)
m
+
m
′
P
j
−
m
(
m
−
m
′
,
m
+
m
′
)
(
cos
ϕ
)
.
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}
Jacobin polynomien k :nnes derivaatta johtaa esitykseen
d
k
d
z
k
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
+
k
)
2
k
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
P
n
−
k
(
α
+
k
,
β
+
k
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
Jacobi polynomiat
P
n
(
α
,
β
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
ovat ratkaisuna yhtälölle
(
1
−
x
2
)
y
″
+
(
β
−
α
−
(
α
+
β
+
2
)
x
)
y
′
+
n
(
n
+
α
+
β
+
1
)
y
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}