Kaksinkertaista integraalia voidaan käyttää kolmiulotteisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen. Kuvan esimerkissä pinnan

alle jäävä tilavuus saadaan integroimalla funktio

suorakaiteen muotoisen pohjan pinta-alan yli.
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.[1]
Kaksiulotteisen avaruuden
osajoukoissa määriteltyjen funktioiden
integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi[1] ja kolmiulotteisen avaruuden
osajoukoissa määriteltyjen funktioiden
integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi.[2] Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.[1]
Tavanomaista, välillä
määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion
integraalia yli tason
(merkinnästä
ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
.[1]
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion
integraalia yli avaruuden
merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
.[1]
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa
, missä
,
, määritellyn funktion
integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
,[3]
.[3]
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
,
tai
, [3][4]
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää
. Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä [1]. Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä [4]. Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.
Suorakulmion

(tummennettu alue) ositus pienemmiksi suorakulmioiksi

, missä

ja

.
Olkoon
suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja
rajoitettu kuvaus. Jos
:hen kuuluvat kaikki pisteet
siten, että
ja
, niin
:hen voidaan määritellä ositus
siten, että
Ositus
koostuu
:stä suorakulmiosta
, missä
ja
, jotka edelleen koostuvat pisteistä
, missä
ja
. Suorakulmion
pinta-ala on
ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla
.
Määritellään osituksen
suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:
.
Valitaan jokaisesta suorakulmiosta
mielivaltainen piste
ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:
.
Suorakulmio

muodostaa suorakulmaisen laatikon pohjan. Laatikon korkeus on

. Riemannin summa on kaikkien näiden laatikoiden tilavuuksien summa.
Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio
ja korkeus on funktion
arvo pisteessä
(siis mikäli
). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion
ja funktion
kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta.[1] Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja
pienennetään (jolloin jaon normi
pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että
.[1] Lopullinen määritelmä kuuluu:
- Funktio
on integroituva suorakulmion
yli ja sillä on kaksinkertainen integraali
,
- jos kaikilla
on olemassa (
:sta riippuva) luku
siten, että ehto

- pätee kaikille
:n osituksille
, joille
sekä kaikkien osajoukkojen
kaikissa pisteissä
.[1]
Merkintä
tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan
raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa
,
mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.[1]
Olkoon
,
. Joukko
on avaruuden
kompakti väli [4] (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi
rajoitettu funktio. Jos
, niin välin
jako
on:
.
Ts. väli
voidaan esittää
:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi)
unioinina. Jos jokaiselle
on olemassa välin
jako
, niin joukon
jako on:
.
Jako
määrää
kappaletta kompakteja jakovälejä
, jotka osittavat välin
. Merkitään mielivaltaista joukon
pistettä
sekä kaikilla
:
ja
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon
liittyvä alasumma kaavalla
ja vastaavasti jakoon
liittyvä yläsumma kaavalla
.
Joukolle
voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako
tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene.[4] Näin ollen, jos
on välin
jako,
on
:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon
jakopisteet) ja
on kummankin edellisen jaon alajako, niin:
[4]
Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos
on joukon
mielivaltainen jako, niin aina
.
- Tällöin funktio
on (Riemann-)integroituva (joukossa
tai joukon
yli), jos
.[4]
Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon
,
ja
on rajoitettu funktio. Tällöin funktio
on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla
on olemassa välin
jako
siten, että
.[4]
Integrointialue

on suorakulmion
osajoukko.
Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että
on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue
ja funktio
rajoitettu. Määritellään funktio
siten, että:
Jos
on integroituva yli
:n, niin myös funktio
on integroituva yli
:n ja:
.[1][4]
Integraalin arvo ei riipu joukon
valinnasta, kunhan
.[4]
Olkoon seuraavassa
,
,
, funktiot
ja
integroituvia funktioita joukossa
sekä
ja
vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
(merkintä
tarkoittaa joukon
sisäpisteiden joukkoa).[1]
= integrointialueen
tilavuus (pinta-ala, jos
ja pituus, jos
).[1]
, jos
(joukolla
ei ole sisäpisteitä).[1]
- Funktio
on integroituva joukossa
ja
.[1][4]
- Jos
kaikilla
, niin
.[1][4]
- Kolmioepäyhtälö:
.[1][4]
- Jos joukot
osittavat joukon
, niin
.[1]
Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.
Olkoon integrointialue
suorakulmio
,
. Tällöin
Määritetään integraalin
arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on
-tason origokeskinen yksikköympyrä (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:
Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio
on pariton funktio, niin kuvaajan ja
-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa
ja
. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin
. Vastaavasti, funktio
on myös pariton, joten
. Näin ollen
Alue

on säännöllinen

-suunnassa, muttei

-suunnassa. Alue

on säännöllinen

-suunnassa, muttei

-suunnassa.
Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue
on
- säännöllinen
-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat
ja
, sekä mikä tahansa
-akselin suuntainen suora leikkaa alueen
reunan korkeintaan kahdesti.[5]
- säännöllinen
-suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat
ja
, sekä mikä tahansa
-akselin suuntainen suora leikkaa alueen
reunan korkeintaan kahdesti.[5]
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue
on säännöllinen
-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat
ja
sekä käyrät
ja
siten, että
kaikilla
. Funktion
kuvaajan ja
-tason väliin jäävä avaruus voidaan ''viipaloida''
-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis
) pitkin
-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:
Integroitaessa

-suunnassa säännöllisen alueen yli funktion

kuvaajan ja

-tason väliin jäävä alue ''viipaloidaan''

-akselia vastaan kohtisuorasti.
.[5]
Tällöin kaksinertainen integraali
saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala
ja paksuus
) tilavuudet suorien
ja
välillä:
.[5]
Samaa integraalia voidaan merkitä myös:
tai
.[5]
Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:
- Jos
on rajoitettu ja säännöllinen
-suunnassa (
,
) sekä
on jatkuva funktio, niin
.[5]
- Jos
on rajoitettu ja säännöllinen
-suunnassa (
,
) sekä
on jatkuva funktio, niin
.[5]
on neliö, jonka määrittelevät rajat
ja
. Määritetään neliön
ja tason
väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue
on säännöllinen sekä
- että
-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.
Integroidaan ensin
- ja sitten
-suunnassa. Integroitaessa
-suunnassa muuttujaa
kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön
rajoittaman kappaleen tilavuus on:
Integroidaan ensin
- ja sitten
-suunnassa. Integroitaessa
-suunnassa muuttujaa
kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön
rajoittaman kappaleen tilavuus on:
Alue

on yksinkertainen sekä

- että

-suunnissa.
Ratkaistaan itegraali
, missä aluetta
rajaavat suorat
ja
sekä käyrä
(tai
). Alue
on säännöllinen sekä
- että
-suunnissa. Koska funktiolle
,
ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan
-suunnassa:
Olkoon
suorakulmainen laatikko siten, että
,
ja
, missä
,
ja
ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali
. Avaruus
''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi)
-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan
suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:
Koordinaatistomuunnoksessa

suorat

ja

kuvautuvat käyriksi

ja

-tasossa. Piste

kuvautuu pisteeksi

.
Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujanvaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien
ja
sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat
ja
voidaan esittää kahden muun muuttujan,
ja
, funktioina:
Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi
-tason osajoukolta
-tason osajoukolle
. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi.[6] Tällöin on olemassa käänteismuunnos
joukolta
joukolle
.[6] Jos funktioilla
ja
on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti
pisteessä
, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen
ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin
[6]
Koordinaatistomuunnoksessa joukolta
(
-tasolta) joukolle
(
-tasolle) integroitava funktio
,
muuntuu funktioksi
,
.
Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:
[6]
Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):
- Olkoon
ja
injektioita
-tason osajoukolta
-tason osajoukolle
. Olkoon funktioilla
ja
olemassa joukossa
jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien
ja
suhteen. Jos funktio
on integroituva
:ssä ja jos
, niin:
[6][7]
Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:
- Olkoon
,
ja
injektioita
-avaruuden osajoukolta
-avaruuden osajoukolle
. Olkoon funktioilla
,
ja
olemassa joukossa
jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien
,
ja
suhteen. Jos funktio
on integroituva
:ssä ja jos
, niin:
[8][9]
Tässä Jacobin determinatti on:
Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle:
- Olkoon
kuvaus avoimelta joukolta
avoimelle joukolle
siten, että Jacobin determinantti
.
- Olkoon
rajoitettu
:n osajoukko ja funktio
integroituva kuvajoukossa
. Tällöin funktio

- on integroituva
:ssä ja
.[10]
Sama integrointialue kuvattuna vasemmalla karteesisilla koordinaateilla ja oikealla napakoordinaateilla
Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:
missä
ja
(radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on
.
Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.
Ratkaistaan integraali
, missä integrointialue
on
-akselin ja suoran
väliin jäävä osa ympyrärenkaasta
. Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:
Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on
ja ulkosäde
ja jota raoittavat suorat
ja
. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti
sekä
ja
. Integraali on tällöin:
missä käytettiin tietoa
[11].
Määritetään ellipsoidin
tilavuus, kun
:n määrittelee yhtälö
,
missä
,
ja
ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa
jolloin ellipsoidi
kuvautuu yksikköpalloksi
, jossa
.
Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:
Tällöin ellipsoidin
tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):
Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.
- Funktion
, missä
on rajoitettu joukko, ja
-tason väliin jäävä tilavuus on
- Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus
, massa saadaan kolminkertaisella integraalilla
,
missä
on kappaleen tiheys pisteessä
.
- Jos
on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että
on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä
, missä
on rajoitettu joukko, niin pinnan
pinta-ala on:
[12][13]
- Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma
alueessa
, massakeskipiste
määritetään kaavoilla:
missä
on kappaleen kokonaismassa.[14] Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori
on
,
missä
.[14]
- Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma
alueessa
, hitausmomentti pyörimisakselin
suhteen on
,
missä
on differentiaalisen massaelementin
etäisyys pyörimisakselista
.[15]
- Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma
alueessa
, hitaussäde pyörimisakselin
suhteen on
.[15]
- ↑ a b c d e f g h i j k l m n o p q r Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus: A Complete Course, 8. painos, s. 807−811. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)
- ↑ Adams & Essex, s. 835
- ↑ a b c Adams & Essex, s. 855
- ↑ a b c d e f g h i j k l Ylinen, Kari: Usean muuttujan funktiot II 2010. Turun yliopisto. Viitattu 11.4.2017.
- ↑ a b c d e f g Adams & Essex, s. 813−815
- ↑ a b c d e Adams & Essex, s. 829−831
- ↑ Friedman, Avner: Advanced Calculus, s. 324. Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971. ISBN 0-03-083983-1. (englanniksi)
- ↑ Adams & Essex, s. 842
- ↑ Friedman, s. 346
- ↑ Friedman, s. 277
- ↑ Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Liu, John: Schaum's outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables, 3. painos, s. 44. McGraw-Hill, 2009. ISBN 978-0-07-154855-7. (englanniksi)
- ↑ Adams & Essex, s. 849
- ↑ Friedman, s. 331
- ↑ a b Adams & Essex, s. 851
- ↑ a b Adams & Essex, s. 853