Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kaksinkertaista integraalia voidaan käyttää kolmiulotteisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen. Kuvan esimerkissä pinnan alle jäävä tilavuus saadaan integroimalla funktio suorakaiteen muotoisen pohjan pinta-alan yli.

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.[1]

Kaksiulotteisen avaruuden osajoukoissa määriteltyjen funktioiden integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi[1] ja kolmiulotteisen avaruuden osajoukoissa määriteltyjen funktioiden integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi.[2] Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.[1]

Merkintätavoista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tavanomaista, välillä määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:

.

Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion integraalia yli tason (merkinnästä ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:

.[1]

Vastaavasti kolmen muuttujan funktion integraalia yli avaruuden merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:

.[1]

Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa , missä , , määritellyn funktion integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:

,[3]

.[3]

Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):

, tai , [3][4]

missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää . Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä [1]. Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä [4]. Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.

Kaksinkertainen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmion (tummennettu alue) ositus pienemmiksi suorakulmioiksi , missä ja .

Olkoon suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja rajoitettu kuvaus. Jos :hen kuuluvat kaikki pisteet siten, että ja , niin :hen voidaan määritellä ositus siten, että

Ositus koostuu :stä suorakulmiosta , missä ja , jotka edelleen koostuvat pisteistä , missä ja . Suorakulmion pinta-ala on

ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla

.

Määritellään osituksen suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:

.

Valitaan jokaisesta suorakulmiosta mielivaltainen piste ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:

.

Suorakulmio muodostaa suorakulmaisen laatikon pohjan. Laatikon korkeus on . Riemannin summa on kaikkien näiden laatikoiden tilavuuksien summa.

Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio ja korkeus on funktion arvo pisteessä (siis mikäli ). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion ja funktion kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta.[1] Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja pienennetään (jolloin jaon normi pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että .[1] Lopullinen määritelmä kuuluu:

Funktio on integroituva suorakulmion yli ja sillä on kaksinkertainen integraali
,
jos kaikilla on olemassa (:sta riippuva) luku siten, että ehto
pätee kaikille :n osituksille , joille sekä kaikkien osajoukkojen kaikissa pisteissä .[1]

Merkintä tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa

,

mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.[1]

Kolmin- tai useammankertainen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon , . Joukkoon avaruuden kompakti väli [4] (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi rajoitettu funktio. Jos , niin välin jako on:

.

Ts. väli voidaan esittää :n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) unioinina. Jos jokaiselle on olemassa välin jako , niin joukon jako on:

.

Jako määrää kappaletta kompakteja jakovälejä , jotka osittavat välin . Merkitään mielivaltaista joukon pistettä sekä kaikilla :

ja

(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon liittyvä alasumma kaavalla

ja vastaavasti jakoon liittyvä yläsumma kaavalla

.

Joukolle voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene.[4] Näin ollen, jos on välin jako, on :n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon jakopisteet) ja on kummankin edellisen jaon alajako, niin:

[4]

Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos on joukon mielivaltainen jako, niin aina

.

Tällöin funktio on (Riemann-)integroituva (joukossa tai joukon yli), jos
.[4]

Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon , ja on rajoitettu funktio. Tällöin funktio on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla on olemassa välin jako siten, että

.[4]

Integrointi yleisen joukon yli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integrointialue on suorakulmion osajoukko.

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue ja funktio rajoitettu. Määritellään funktio siten, että:

Jos on integroituva yli :n, niin myös funktio on integroituva yli :n ja:

.[1][4]

Integraalin arvo ei riipu joukon valinnasta, kunhan .[4]

Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa , , , funktiot ja integroituvia funktioita joukossa sekä ja vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:

  • (merkintä tarkoittaa joukon sisäpisteiden joukkoa).[1]
  • = integrointialueen tilavuus (pinta-ala, jos ja pituus, jos ).[1]
  • , jos (joukolla ei ole sisäpisteitä).[1]
  • Funktio on integroituva joukossa ja .[1][4]
  • Jos kaikilla , niin .[1][4]
  • Kolmioepäyhtälö: .[1][4]
  • Jos joukot osittavat joukon , niin .[1]

Integrointimenetelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symmetrioiden käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon integrointialue suorakulmio , . Tällöin

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritetään integraalin arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on -tason origokeskinen yksikköympyrä (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:

Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio on pariton funktio, niin kuvaajan ja -tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa ja . Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin . Vastaavasti, funktio on myös pariton, joten . Näin ollen

Iterointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alue on säännöllinen -suunnassa, muttei -suunnassa. Alue on säännöllinen -suunnassa, muttei -suunnassa.

Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue on

  • säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen reunan korkeintaan kahdesti.[5]
  • säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen reunan korkeintaan kahdesti.[5]

Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue on säännöllinen -suunnassa ja sitä rajoittavat suorat ja sekä käyrät ja siten, että kaikilla . Funktion kuvaajan ja -tason väliin jäävä avaruus voidaan ''viipaloida'' -tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis ) pitkin -akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:

Integroitaessa -suunnassa säännöllisen alueen yli funktion kuvaajan ja -tason väliin jäävä alue ''viipaloidaan'' -akselia vastaan kohtisuorasti.

.[5]

Tällöin kaksinertainen integraali saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala ja paksuus ) tilavuudet suorien ja välillä:

.[5]

Samaa integraalia voidaan merkitä myös:

tai

.[5]

Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:

Jos on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä on jatkuva funktio, niin
.[5]
Jos on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä on jatkuva funktio, niin
.[5]

Esimerkki 3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

on neliö, jonka määrittelevät rajat ja . Määritetään neliön ja tason väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue on säännöllinen sekä - että -suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.

Esimerkki 3a:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerki 3b:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerkki 4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alue on yksinkertainen sekä - että -suunnissa.

Ratkaistaan itegraali , missä aluetta rajaavat suorat ja sekä käyrä (tai ). Alue on säännöllinen sekä - että -suunnissa. Koska funktiolle , ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan -suunnassa:

Esimerkki 5[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon suorakulmainen laatikko siten, että , ja , missä , ja ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali . Avaruus ''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi) -tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:

Muuttujanvaihto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koordinaatistomuunnoksessa suorat ja kuvautuvat käyriksi ja -tasossa. Piste kuvautuu pisteeksi .

Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujanvaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien ja sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat ja voidaan esittää kahden muun muuttujan, ja , funktioina:

Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi -tason osajoukolta -tason osajoukolle . Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi.[6] Tällöin on olemassa käänteismuunnos

joukolta joukolle .[6] Jos funktioilla ja on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti

pisteessä , niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin

[6]

Koordinaatistomuunnoksessa joukolta (-tasolta) joukolle (-tasolle) integroitava funktio , muuntuu funktioksi ,

.

Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:

[6]

Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):

Olkoon ja injektioita -tason osajoukolta -tason osajoukolle . Olkoon funktioilla ja olemassa joukossa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien ja suhteen. Jos funktio on integroituva :ssä ja jos , niin:
[6][7]

Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:

Olkoon , ja injektioita -avaruuden osajoukolta -avaruuden osajoukolle . Olkoon funktioilla , ja olemassa joukossa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien , ja suhteen. Jos funktio on integroituva :ssä ja jos , niin:
[8][9]

Tässä Jacobin determinatti on:

Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle:

Olkoon kuvaus avoimelta joukolta avoimelle joukolle siten, että Jacobin determinantti
.
Olkoon rajoitettu :n osajoukko ja funktio integroituva kuvajoukossa . Tällöin funktio
on integroituva :ssä ja
.[10]

Esimerkki 6[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sama integrointialue kuvattuna vasemmalla karteesisilla koordinaateilla ja oikealla napakoordinaateilla

Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:

missä ja (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on

.

Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.

Ratkaistaan integraali , missä integrointialue on -akselin ja suoran väliin jäävä osa ympyrärenkaasta . Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:

Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on ja ulkosäde ja jota raoittavat suorat ja . Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti sekä ja . Integraali on tällöin:

missä käytettiin tietoa [11].

Esimerkki 7[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritetään ellipsoidin tilavuus, kun :n määrittelee yhtälö

,

missä , ja ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa

jolloin ellipsoidi kuvautuu yksikköpalloksi , jossa

.

Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:

Tällöin ellipsoidin tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):

Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.

Käytännön sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Funktion , missä on rajoitettu joukko, ja -tason väliin jäävä tilavuus on

  • Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus , massa saadaan kolminkertaisella integraalilla

,

missä on kappaleen tiheys pisteessä .

  • Jos on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä , missä on rajoitettu joukko, niin pinnan pinta-ala on:

[12][13]

  • Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma alueessa , massakeskipiste määritetään kaavoilla:

missä on kappaleen kokonaismassa.[14] Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori on

,

missä .[14]

  • Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma alueessa , hitausmomentti pyörimisakselin suhteen on

,

missä on differentiaalisen massaelementin etäisyys pyörimisakselista .[15]

  • Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma alueessa , hitaussäde pyörimisakselin suhteen on

.[15]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q r Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus: A Complete Course, 8. painos, s. 807−811. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)
  2. Adams & Essex, s. 835
  3. a b c Adams & Essex, s. 855
  4. a b c d e f g h i j k l Ylinen, Kari: Usean muuttujan funktiot II 2010. Turun yliopisto. Viitattu 11.4.2017.
  5. a b c d e f g Adams & Essex, s. 813−815
  6. a b c d e Adams & Essex, s. 829−831
  7. Friedman, Avner: Advanced Calculus, s. 324. Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971. ISBN 0-03-083983-1. (englanniksi)
  8. Adams & Essex, s. 842
  9. Friedman, s. 346
  10. Friedman, s. 277
  11. Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Liu, John: Schaum's outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables, 3. painos, s. 44. McGraw-Hill, 2009. ISBN 978-0-07-154855-7. (englanniksi)
  12. Adams & Essex, s. 849
  13. Friedman, s. 331
  14. a b Adams & Essex, s. 851
  15. a b Adams & Essex, s. 853