Indusoitu topologia

Indusoitu topologia (eli lähtötopologia) on eräs tärkeä topologia. Jonkin funktiojoukon joukkoon $X$ indusoima topologia on karkein topologia, joka tekee näistä funktioista jatkuvia.

Aliavaruustopologia (eli relatiivitopologia) ja tulotopologian ovat esimerkkejä indusoiduista topologioista, kuten alempana kerrotaan.

Tämän duaalikäsite on koindusoitu topologia. Jos funktioperheen funktioiden maaliavaruus on $Y$, perheen joukkoon $Y$ koindusoima topologia on hienoin topologia, jolla perheen kaikki funktiot ovat jatkuvia.

"Siis indusointi tapahtuu vastavirtaan, koindusointi myötävirtaan."

Määritelmä

Yhden funktion perhe

Olkoon $f:X\to Y$ funktio, missä $(Y,\tau ')$ on topologinen avaruus ja $X$ on joukko.

Tällöin funktion $f$ joukkoon $X$ indusoima topologia on $\tau =\{f^{-1}V\,:\,V\in \tau '\}$ eli joukon $Y$ avointen osajoukkojen alkukuvat.

Tämä on erikoistapaus seuraavasta.

Yleinen määritelmä

Oletetaan joukko $X$ ja indeksoitu perhe $\left(Y_{i}\right)_{i\in I}$ topologisia avaruuksia, joihin on funktiot $$f_{i}:X\to Y_{i},$$Näiden funktioiden joukolle $X$ indusoima topologia on karkein topologia $\tau$, jolla $$f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}$$ on jatkuva.

Se on siis joukon $\{f_{i}^{-1}V\,:\,i\in I,\ V\in \tau _{i}\}$ virittämä topologia, missä $\tau _{i}$ on avaruuden $Y_{i}$ topologia. Tuo joukko on siis indusoidun topologian esikanta (topologia) mutta valitettavasti ei välttämättä itsessään topologia tai edes kanta.

Esimerkkejä

Moni tärkeä topologia on joidenkin funktioiden indusoima topologia:

• Avaruuden $X$ aliavaruuden $S\subset X$ relatiivitopologia on inkluusion $S\to X$ indusoima topologia.
• Tulotopologia on projektioiden indusoima topologia.
• Lokaalisti konveksin avaruuden heikko topologia on sen duaaliavaruuden jatkuvien lineaaristen funktionaalien indusoima topologia.
• Jokaisen topologisen avaruuden $X$ topologian indusoi jokin perhe jatkuvia funktioita $X$:stä Sierpińskin avaruuteen.

Ominaisuuksia

Kuvausten $f_{i}$ indusoima topologia on $X$:n topologia, jolla on seuraava ominaisuus:Jos $Z$ on avaruus ja $g$ on funktio $Z\to X$, niin $g$ on jatkuva jos ja vain jos $f_{i}\circ g$ on jatkuva jokaisella $i\in I.$

Alkuperäisen topologian ominaispiirre

Katso myös

• Koindusoitu topologia - Hienoin (maaliavaruuden) topologia, joka tekee tietyt funktiot jatkuviksi
• Tulotopologia - Topologisten avaruuksien karteesisen tulon topologia
• Tekijäavaruus - $X/{\sim }$
• Relatiivitopologia - aliavaruuden perimä topologia