Greenin teoreema

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Greenin teoreema on Stokesin lauseeseen tiiviisti liittyvä lause, jonka mukaan:

\oint_{\Gamma} Pdx + Qdy = \int_{A} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy,

missä

  • P \equiv P(x,y) ja Q \equiv Q(x,y)
  • \Gamma on suljettu polku, joka rajaa pinnan A euklidisessa 3-avaruudessa. Polkuintegraali lasketaan vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta, ja pinnan normaali osoittaa pinnan ulkopuolelle.

Greenin teoreemaan saavutaan, kun määritellään \mathbf{F} = P(x,y) \mathbf{i} + Q(x,y) \mathbf{j}, josta roottori:

\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}.

Sovelletaan Stokesin lausetta, kun \Gamma on suljettu polku tasolla z = 0 \,\!:

\oint_{\Gamma} \mathbf{F} . d \mathbf{l} = \oint_{\Gamma} Pdx + Qdy
= \int_{A} \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) . \mathbf{k} dS
= \int_{A} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy
.

Teoreema on nimetty brittiläisen George Greenin mukaan.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]