Grafeenin vyörakenne

Grafeeni on yhdestä atomikerroksesta koostuva kaksiulotteinen hiilen allotrooppi, jossa jokainen hiiliatomi on sitoutunut lähimpiin naapuriatomeihin kolmella kovalenttisella sidoksella muodostaen kuusikulmaisen hunajakennomaisen rakenteen . Hiiliatomit ovat sp²-hybridisoituneet ja muodostavat tasorakenteen hiiliatomien välisten lujien σ-sidosten avulla. Näiden hiili–hiili-sidosten pituus on 1.42 Å. Vapaaksi jäävät p-orbitaalit ovat tasoon nähden kohtisuorassa ja muodostavat π-sidoksia vierekkäisten atomien kanssa. Grafeenissa π-orbitaaleista muodostuvat valenssi- ja johtavuusvyöt kohtaavat kuusikulmaisessa Brillouin vyöhykkeen teräväkärkisissä Dirac-pisteissä Fermin tasossa. Dirac-pisteet sijaitsevat kohdissa K ja K’.

$K=({\frac {2\pi }{3a}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}a}}),K'=({\frac {2\pi }{3a}},-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}a}})\$

missä a on hilavakio (a≈2.4 Å). Grafeenin sähköisiä ominaisuuksia kuvataan tight binding -mallin avulla. Mallissa elektronien liikkuminen on rajoitettu lähimpiin naapuriatomeihin. Tight binding -mallilla grafeenin vyörakenne saa muodon

$E(\mathbf {k} )=\pm \,t{\sqrt {1+4\cos ^{2}{{\tfrac {1}{2}}ak_{x}}+4\cos {{\tfrac {1}{2}}ak_{x}}\cdot \cos {{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}ak_{y}}}}$

missä t on lähimpien naapurien siirtymisenergia, ja k_x ja k_y ovat liikemäärät x- ja y-suunnissa. Mallin mukaan energiavyö on puoliksi täynnä eli valenssivyö on täynnä ja johtavuusvyö on vapaa. Valenssi- ja johtavuusvöiden kohtaamispisteissä tilatiheys on nolla mutta energiarakoa ei kuitenkaan ole. Siten puhdas grafeeni on puolimetalli. Kuusikulmaisen rakenteen vuoksi Fermi-tason lähellä kaksiulotteiset valenssi- ja johtavuusvyöt hajaantuvat lineaarisesti niin kutsutuiksi Dirac-kartioiksi. Elektronit ja aukot käyttäytyvät normaaleista varauksenkuljettajista poiketen ja niitä kutsutaan Diracin fermioneiksi. Matalilla energioilla Diracin fermioneja voidaan kuvata Schrödingerin yhtälön sijasta relativistisen Diracin yhtälön avulla. Diracin fermionien liike grafeenissa on vapaata ja nopeata sillä ne liikkuvat kuin niillä ei olisi lainkaan massaa. Tämä mahdollistaa erityisen hyvän sähkönjohtavuuden. Fermionien nopeus on v_F=c/300. Lisäksi grafeenin erityisen rakenteen ansiosta siinä voidaan havaita kvantti-Hall-ilmiö.

Grafeeni-nanonauhat

Kun grafeenitason leveys on rajoitettu, sen sähköinen rakenne muuttuu. Grafeeni-nanonauhojen ominaisuudet riippuvat suuresti niiden reunarakenteesta . Eniten tutkitut reunarakenteet muistuttavat nojatuolia (armchair-edge) tai siksak-kuviota (zigzag-edge). Tight binding -mallin mukaan siksak-reunainen nanonauha on aina metallinen. Nojatuoli-reunainen nanonauha on sen sijaan metallinen tai puolijohtava riippuen sen leveydestä. Muuttamalla nojatuoli-nauhojen leveyttä, sen energiarakoa voidaan säätää. Kun nauhan leveys on N=3p tai N=3p+1, energiarako on suuri ja nauha on puolijohtava. Energiarako on sitä suurempi mitä kapeampi nauhan leveys on. Nanonauha on kuitenkin metallinen, kun sen leveys on N=3p+2 (p on kokonaisluku). Hyvän sähkönjohtavuuden takia grafeeni-nanonauhoja voi mahdollisesti hyödyntää elektroniikan johdinmateriaalina ja puolijohtavien ominaisuuksien ansiosta puolijohdekomponenteissa.