Gergonnen piste

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Sisäympyrän sivuamispisteisiin (TA, TB ja TC) kolmion kärjistä piirretyt janat (vihreät) leikkaavat toisensa Gergonnen pisteessä (Ge). Tämä ei osu samaan kohtaan sisäympyrän keskipisteen I kanssa.

Gergonnen piste on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste, joka ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella [1] Kun kolmion sisään piirretään suurin ympyrä (sisäympyrä), mikä sinne mahtuu, sivuaa se kolmion sivuja sen sisäpuolelta. Kun sivuamispisteet, joita kutsutaan myös kantapisteiksi, yhdistetään ceviaaneilla sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat nämä toisensa pisteessä, jota kutsutaan Gergonnen pisteeksi.[2][3]

Sijainti kolmiossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Trilineaariset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen trilineaariset koordinaatit

.[1]

Barysentriset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

 : [1][4]

missä on kolmion piirin pituuden puolikas.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Cevan lauseella on helppo todistaa, että sisäympyrän sivuamispisteisiin päättyvät ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä Gergonnen pisteessä. Merkitään kolmion sisäympyrän sivuamispisteitä vastaisen kärjen kirjaimilla . Samaa kärkeä käyttävät suunnatut janat , koska ne ovat sisäympyrän tangentteja. Samoin on muidenkin kärjistä lähtevät janat ja . Silloin Cevan lausetta seuraten [5]

Cevan lauseen mukaan janat , ja ovat konkurrentit.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Gergonne's Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Incircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Barycentric Coordinates (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Matematiikkakilpailut.fi: Nimekästä geometriaa, Matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia