Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia
Γ
{\displaystyle \Gamma }
gamma ), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille . Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä
Γ
(
r
)
=
∫
0
∞
x
r
−
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}\,dx}
[ 1]
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla . Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi .
Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.
Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä
I
=
∫
0
∞
e
−
a
x
d
x
=
1
a
{\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}dx={\frac {1}{a}}}
I
{\displaystyle I\,\!}
a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:
d
I
d
a
=
∫
0
∞
∂
∂
a
(
e
−
a
x
)
d
x
=
d
d
a
(
1
a
)
{\displaystyle {\frac {dI}{da}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}\left(e^{-ax}\right)dx={\frac {d}{da}}\left({\frac {1}{a}}\right)}
josta
∫
0
∞
x
e
−
a
x
d
x
=
1
a
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}dx={\frac {1}{a^{2}}}}
Toistetaan:
∫
0
∞
x
2
e
−
a
x
d
x
=
1
×
2
a
3
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2}{a^{3}}}}
Toistetaan:
∫
0
∞
x
3
e
−
a
x
d
x
=
1
×
2
×
3
a
4
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2\times 3}{a^{4}}}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
d
x
=
n
!
a
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}}
Sijoitetaan
a
=
1
{\displaystyle a=1\,\!}
n
!
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
{\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx}
josta määrittelemme gammafunktion
Γ
(
p
)
=
∫
0
∞
x
p
−
1
e
−
x
d
x
p
≥
0
{\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}e^{-x}dx\qquad p\geq 0}
n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:
Γ
(
p
)
=
(
p
−
1
)
!
p
=
1
,
2
,
3
,
⋯
{\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\left(p-1\right)!\qquad p=1,2,3,\cdots }
Jos
n
{\displaystyle n}
luonnollinen luku , niin
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Jos
n
{\displaystyle n}
[ 2]
Γ
(
1
2
+
n
)
=
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
⋅
…
⋅
(
2
n
−
1
)
2
n
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}
ja
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
1
)
n
2
n
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
⋅
…
⋅
(
2
n
−
1
)
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-1)^{n}2^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2n-1)}}{\sqrt {\pi }}}
Tästä tulee arvot:
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
Γ
(
3
2
)
=
1
2
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
Γ
(
5
2
)
=
3
4
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}}
Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
…
(
z
+
n
)
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\ldots (z+n)}}}
Gammafunktiolle pätee lisäksi:[ 2]
Γ
(
x
)
Γ
(
−
x
)
=
−
π
x
sin
(
π
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (-x)=-{\frac {\pi }{x\sin(\pi x)}}}
Γ
(
x
)
Γ
(
1
−
x
)
=
π
sin
(
π
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}}
↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja , s. 114. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0 ↑ a b Eric W. Weisstein: Gamma Function mathworld.wolfram.com . Viitattu 4.5.2025. (englanniksi)
