Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, funktion raja-arvoilla tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.

Merkintätapoja

Raja-arvo on latinaksi limes, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä

$\lim _{x\to p}f(x)=L,$

joka luetaan "funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p".

Sen toinen merkintätapa on

$f(x)\to L{\text{, kun }}x\to p,$

joka luetaan edelliseen tapaan.

Määritelmiä

Intuitiivinen määritelmä

Funktion raja-arvoa ei ole olemassa kohdassa x₀, koska oikeanpuoleinen raja-arvo on suurempi luku kuin vasemmanpuoleinen raja-arvo. Jotta raja-arvo olisi olemassa, tulisivat toispuoliset raja-arvot olla samat.

Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa f(p) ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla p, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun p viereisiä) lukuja x. Mitä pienempi on lukujen p ja x välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo f(x) vastaisi kuviteltua funktion arvoa f(p) (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut x poikkeavat luvusta p, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle L, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen x arvojen lähestyessä luvun p arvoa.

Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono $(x_{i})$, joka lähestyisi lukua p lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla $x_{i}$ laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono $f(x_{i})$. Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.

Määritelmä toispuolisten raja-arvojen avulla

Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun

$\lim _{x\to p+}f(x)=\lim _{x\to p-}f(x)=L,$

missä L on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on oikeanpuoleinen raja-arvo ja toinen vasemmanpuoleinen raja-arvo, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on L eli

$\lim _{x\to p}f(x)=L.$

Raja-arvon numeerinen määrittäminen

$x$	$f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$
1	0,841471
0.1	0,998334
0.01	0,999983
0.001	0,999999
0	ei määritelty (0/0), mutta $\to 1$
-0.001	0,999999
-0.01	0,999983
-0.1	0,998334
-1	0,841471

Taulukossa on laskemia funktion $f(x)={\sin {x} \over x}$ arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin.

Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio $f(x)={\sin {x} \over x}$ on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa ($\mathbb {R} \diagdown \{0\}.$) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja $f(1),f(0,1),f(0,01),f(0,001),\dots$ niin, että $x\to 0.$ Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli

$\lim _{x\to 0+}f(x)=1.$

Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan $f(-1),f(-0,1),f(-0,01),f(-0,001),\dots$. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli

$\lim _{x\to 0-}f(x)=1.$.

Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.

Eksakti määritelmä

Raja-arvon eksakti määritelmä.

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon ($\epsilon$) ja delta ($\delta$) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion $f$ realilukuarvoinen määrittelyjoukko on $A$ niin, että $f:A\to \mathbb {R}$ on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli $[a,b]\diagdown \{p\}$ (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla $\epsilon >0$ on aina olemassa luku $\delta >0$ siten, että

$|f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .$

Siis, valittiinpa positiivinen luku $\epsilon$ kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku $\delta$ siten, että kaikilla korkeintaan $\delta$:n etäisyydellä olevilla luvuilla $x$ ovat funktion $f(x)$ arvot korkeintaan $\epsilon$:n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla $\epsilon$:n pienentämisen, tulisi myös $\delta$ pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun $\delta$:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun $\epsilon$.

Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta

Funktiolla $f(x)=x^{2}$ on toki olemassa arvo luvulla $x=3$, joka on $f(3)=3^{2}=9$. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo L, kun luvut x lähestyvät lukua p = 3. Siis osoitetaan, että (lähde:)

$\lim _{x\to 3}f(x)=\lim _{x\to 3}x^{2}=9.$

Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon L = 9 erotuksen suuruuden ylärajaksi $\epsilon$ siten, että

$|f(x)-L|=|x^{2}-9|<\epsilon ,$

missä $\epsilon >0$. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa p = 3 tulee x valita, että ollaan korkeintaan $\epsilon$:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä

$|x^{2}-9|=|x-3||x+3|,$

ja kun x on riittävän lähellä arvoa p = 3, on

$|x-3|<1$

ja

$|x+3|=|x-3+3+3|\leq |x-3|+2|3|\leq 1+2|3|=7.$

Nyt huomataan että $\epsilon$ ja $\delta$ riippuvat toisitaan. Siis

$|x^{2}-9|\leq |x-3|\cdot 7<\epsilon ,$

kunhan

$0<|x-3|<{\epsilon \over 7},$

jolloin valitaan $\delta =min\{{\epsilon \over 7},1\}$.

Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun $\epsilon$:ia pienennetään, pienenee myös $\delta$. Erityisesti, valitsemalla x luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla x riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.

Toispuolinen raja-arvo

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo $x-p$. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

$\lim _{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .$

Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

$\lim _{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .$

Epäoleellinen raja-arvo

Funktion epäoleellinen raja-arvo on kuvaajassa olemassa, kun x lähestyy plus ääretöntä, koska funktio mahtuu lopulta epsilon-putkeen.

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=L,$

jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L,$

jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa L luvulla. Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,$

jos tulos kasvaa rajatta ja

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty ,$

jos tulos vähenee rajatta.

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=L,$

määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla

$|f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}x>M_{\epsilon },$

eli funktion arvo $f(x)$ on $\epsilon$:n etäisyydellä raja-arvosta L, kun muuttuja x on ylittänyt rajan $M_{\epsilon }$. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa L, kunhan muuttuja x kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa

Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa $z=x+iy$) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun z moduuli lasketaan $|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$ Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla $|a-b|.$

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia $z=x+iy$, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun $z_{0}$) määriteltyä kompleksifunktiota $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, pystytään joskus määrittämään funktion $f(z)$ raja-arvo

$\lim _{z\to z_{0}}f(z).$

Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue G voi olla pisteen $z_{0}$ ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku z voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua $z_{0}$ mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun $z_{0}$ määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina

$|z-z_{0}|=|(x+iy)-(x_{0}+iy_{0})|=|(x-x_{0})+i(y-y_{0})|={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}$

Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku L kohdassa $z_{0}$, jos kaikilla luvuilla $\epsilon >0$ on aina olemassa luku $\delta >0$ siten, että

$|f(z)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|z-z_{0}|<\delta .$

Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa

Funktion jatkuvuuden toteaminen

Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä p, mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion $f(p)$ arvo:

$\lim _{x\to p+}f(x)=\lim _{x\to p-}f(x)=f(p).$

Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.

Derivaatan määritelmä

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä $x_{0}$. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena

$f'(x)=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Raja-arvojen laskusääntöjä

Jos funktioilla $f(x)$ ja $g(x)$ on olemassa raja-arvot ($\lim \limits _{x\to p}g(x)=G\neq 0$), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:

$\lim _{x\to c}k={\text{, kun }}\,k\in \mathbb {R} \,$

$\lim \limits _{x\to p}kf(x)=k\lim _{x\to c}f(x)=k\cdot F$

$\lim \limits _{x\to p}(f(x)+g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)=F+G$

$\lim \limits _{x\to p}(f(x)-g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)=F-G$

$\lim \limits _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)=F\cdot G$

$\lim \limits _{x\to p}(f(x)/g(x))={\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}=F/G$

Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.

Yhdistetyillä funktioilla

$\lim _{y\to p}f(y)=L{\text{ ja }}\lim _{x\to a}g(x)=p{\text{ }}\Rightarrow \lim _{x\to a}f(g(x))=L$

Historia

Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan "Cours d'analyse" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.

Katso myös

• Lukujonon raja-arvo

Lähteet

• Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko & Liira, Riitta & Ronkainen, Anja: Pyramidi 7 – Derivaatta. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5401-7.
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
• Kangasaho, Jukka & Mäkinen, Jukka & Oikkonen, Juha & Paasonen, Johannes & Salmela, Maija & Tahvanainen, Jorma: Pitkä matematiikka 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Wsoy. ISBN 978-951-0-29168-9.
• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

Aiheesta muualla

• Encyclopedia of Math: Limit,