Fubinin lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Fubinin lause on tärkeä integraalilaskennan lause. Se antaa menetelmän, jonka avulla moniulotteinen integrointi palautetaan peräkkäisiksi yksiulotteisiksi integroinneiksi tyhjennysmenetelmän ja Cavalierin viipalointiperiaatteen mukaisesti. Näin funktion integraali voidaan laskea iteratiivisesti sisäkkäisinä integraaleina eli iteroituina integraaleina. Lauseen todisti ensimmäisenä italialainen matemaatikko Guido Fubini, ja hänen mukaansa se on myös nimetty.

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon , ja olkoon funktio integroituva. Jos jokaiselle tiedetään, että funktion f osittaisleikkaus

on integroituva, niin silloin funktio

on integroituva, ja on voimassa Fubinin yhtälö

.

Lauseen arvo on siinä, että 2-ulotteisen tason integraalin laskeminen voidaan sen avulla palauttaa 1-ulotteisten integraalien laskemiseen, joiden kohdalla on usein sovellettavissa helppoja sääntöjä integraalin arvon määrittämiseksi.

Käytössä huomattavaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erillinen vaatimus funktion integroitavuudesta on oleellinen, sillä on olemassa muun muassa sellainen :ssa rajoitettu , että ei ole -integroituva, mutta silti jokaisella on voimassa , jolloin selvästi myös , eli ensin x-akselin ja sitten y-akselin suuntaiset "1-ulotteiset viipaleintegraalit" saadaan silti otettua. Tässä -integroituvuus tarkoittaa -tasosuorakulmion yhä tiheämpää ja tiheämpää osittamista äärellisen moneen pienempään tasosuorakulmioon (Mikä tasossa vastaa tavallisessa 1-ulotteisessa Riemann-integraalissa tapahtuvaa -välin jakoa äärellisen moneen osaväliin.) niin, että niistä sup-arvoilla otettu Darboux'n yläsumma ja inf-arvoilla otettu Darboux'n alasumma pääsevät mielivaltaisen lähelle toisiaan, jolloin niiden yhteisesti lähestymä arvo on :n -tasossa otettu Riemann-integraali. Funktio ei siis ole -Riemann-integroituva, jos on olemassa kiinteä 0:aa aidosti suurempi arvo niin, että millä tahansa äärellisellä tasosuorakulmio-osituksella yläsumma on ainakin :n verran vastaavaa alasummaa suurempi, jolloin yläsummat ja alasummat eivät pääse mielivaltaisen lähelle toisiaan.

Käytännössä tämä kysymys ei kovin usein esiinny, sillä :n ollessa esimerkiksi jatkuva :ssa on varmasti -integroituva ja jokaisella osittaisleikkaus on 1-ulotteisesti integroituva, jolloin Fubinin lausetta voidaan siis soveltaa.

Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Fubinin lauseesta on olemassa myös yleisempiä versioita, muun muassa sen mittateoreettinen versio.