Esikanta (topologia)

Topologisen avaruuden $(X,\tau )$ topologian $\tau$ esikanta eli alikanta on joukko $B\subset \tau$, joka virittää joukon $\tau$. Tämä tarkoittaa, että $\tau$ on pienin topologia, joka sisältää joukon $B$ (Suomessa käytetyssä Väisälän määritelmässä vaaditaan lisäksi, että $\cup B=X$).

Jokainen kanta on alikanta.

Eräs määritelmä

Olkoon $X$ joukko ja $\tau$ sen topologia. Topologian $\tau$ esikanta määritellään osajoukoksi $B\subset \tau$, joka täyttää jonkin seuraavista (keskenään ekvivalenteista) ehdoista:

1. $\tau$ on karkein topologia, joka sisältää joukon $B$, eli jos $\tau ^{\prime }$ on joukon $X$ topologia, niin $B\subset \tau ^{\prime }\ \Rightarrow \ \tau \subset \tau ^{\prime }$.
2. $\tau$ on leikkaus kaikista joukon $X$ topologioista $\tau ^{\prime }$, joilla $B\subset \tau ^{\prime }$.
3. Kaikki joukon $B$ alkioiden äärelliset leikkaukset ja joukko $X$ muodostavat topologian $\tau$ kannan. (Näin on jos ja vain jos jokainen avoin joukko, paitsi mahdollisesti $X$, on joidenkin joukon $B$ alkioiden äärellisten leikkausten yhdiste. Tämä pätee jos ja vain jos jokaiselle avoimelle $U\subsetneq X$ ja jokaiselle $x\in U$ on olemassa jokin $n$ ja joukot $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\in B$ siten, että $x\in S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}\subset U$.)

Kannan määritelmähän on, että sen alkioiden yhdisteet ovat samat kuin avoimet joukot.

Kun $S$ on kokoelma joukon $X$ osajoukkoja, on olemassa tasan yksi topologia, jonka esikanta on $S$. Se on kaikkien niiden joukon $X$ topologioiden leikkaus, joiden osajoukko $S$ on. Yleisesti ottaen päinvastainen ei kuitenkaan pidä paikkaansa, eli tietylle topologialle ei aina ole olemassa yksikäsitteistä esikantaa (vaan monta).

Jussi Väisälän määritelmä

Jussi Väisälän (ym.) määritelmässä vaaditaan edellisen lisäksi, että $\cup B=X$.

Tämä määritelmä on Suomessa yleisin ja paikoin muuallakin muttei ole ekvivalentti yllä esitetyn määritelmän kanssa. Väisälän määritelmä on ekvivalenttia seuraavan kanssa:

Joukon $B$ alkioiden äärellisten leikkausten kokoelma on topologian $\tau$ kanta. (Näin on jos ja vain jos jokainen avoin joukko on joidenkin joukon $B$ alkioiden äärellisten leikkausten yhdiste. Tämä pätee jos ja vain jos jokaiselle $U\in \tau$ ja jokaiselle $x\in U$ on olemassa jokin $n$ ja joukot $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\in B$ siten, että $x\in S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}\subset U$.)

Jos $B$ on topologian $\tau$ esikanta, sanomme, että $B$ virittää topologian $\tau$. Sanan "virittää" merkityskin siis riippuu siitä, kumpaa esikannan määritelmää käytetään.

Useimmissa sovelluksissa onneksi $\cup B=X$. Tällaisille $B$ em. määritelmät ovat tietysti ekvivalentteja.

Esimerkkejä

Minkä tahansa joukon ${\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}$ virittämä topologi on triviaali topologia $\{\varnothing ,X\}.$

Jos $\tau$ on topologia joukossa $X$ ja ${\mathcal {B}}$ on topologian $\tau$ kanta, niin ${\mathcal {B}}$ virittää topologian $\tau .$ Siis jokainen topologian kanta on myös sen esikanta.

Tavallinen topologia reaalilukujen joukossa $\mathbb {R}$ omaa esikannan, joka koostuu kaikista niistä avoimista väleistä, jotka ovat muotoa $(-\infty ,a)$ tai $(b,\infty ),$ missä $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja. Niiden leikkaukset $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ , missä $a\leq b$, muodostavat sen topologian kannan. Pienempi saman topologian alikanta muodostetaan esimerkiksi ottamalla aliperhe, jossa $a$ ja $b$ ovat rationaalisia.

Kaikista väleistä muotoa $(-\infty ,a)$ koostuva esikanta ei viritä tavanomaista topologiaa. Tuloksena oleva topologia ei täytä T1-aksioomaa, koska jos $a<b$, niin jokainen avoin joukko, joka sisältää luvun $b$ sisältää myös luvun $a$.

Funktioperheen $f_{i}:X\to Y_{i},$ joukkoon $X$ indusoima topologia on karkein topologia, joka tekee jokaisen $f_{i}$ jatkuvaksi. Se tarkoittaa topologiaa, jonka esikannan muodostavat joukot $f_{i}^{-1}(U),$ missä $U$ käy läpi kaikki joukon $Y_{i}$ ja $i$ kaikki indeksiperheen $I$ alkiot.