Erotteluaksioomat

Erotteluaksioomat, kuten $T_{0}$, $T_{1}$ ja $T_{2}$, luokittelevat topologisia avaruuksia sen mukaan, miten tarkasti niiden avoimet joukot pystyvät erottelemaan pisteitä tai joukkoja toisistaan.

Aksioomia

Havainnollistus erotteluaksioomista.

Avaruus on $T_{0}$, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy avoin joukko, johon joko $x$ kuuluu mutta $y$ ei, tai toisinpäin.

Avaruus on $T_{1}$, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy sekä avoin joukko, johon $x$ kuuluu mutta $y$ ei, että avoin joukko johon $y$ kuuluu mutta $x$ ei. (Nämä avoimet joukot saavat sisältää yhteisiä pisteitä.)

Avaruus on $T_{2}$ eli Hausdorffin avaruus, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy sekä avoin joukko, johon $x$ kuuluu mutta $y$ ei, että avoin joukko johon $y$ kuuluu mutta $x$ ei, ja näillä avoimilla joukoilla ei ole yhteisiä pisteitä.

Vaihtelevat määritelmät

Avaruus on $T_{3}$, jos sen jokaisella pisteellä x ja suljetulla joukolla F, jolla $x\notin F$ on erilliset ympäristöt. (Erillinen tarkoittaa pistevierasta, siis niiden leikkaus on tyhjä.)

Avaruus on $T_{4}$, jos sen kaikilla erillisillä suljetuilla joukolla F,C on erilliset ympäristöt.

Säännöllinen tarkoittaa $T_{3}$ ja $T_{1}$. Normaali tarkoittaa $T_{4}$ ja $T_{1}$.

Kelley, englanninkielinen Wikipedia ym. vaihtavat päittäin termien säännöllinen ja $T_{3}$ määritelmät sekä termien normaali ja $T_{4}$ määritelmät.

On muitakin T-aksioomia.

Ominaisuuksia

Normaali$\Rightarrow$säännöllinen$\Rightarrow$$T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0}$.

Avaruus on $T_{1}$ jos ja vain jos jokainen yksiö on suljettu. Yksiö tarkoittaa yhden alkion joukkoa.

$T_{3},\ T_{2},\ T_{1},\ T_{0}$ ovat perinnöllisiä ominaisuuksia ja säilyvät myös karteesisissa tuloissa.

Jokainen metristyvä avaruus on $T_{1}$ ja $T_{4}$.

Esimerkki

Luonnollisten lukujen topologia, joka sisältää tyhjän joukon ja koko joukon lisäksi vain parilliset ja parittomat luvut avoimina joukkoina, ei ole $T_{0}$.

Luonnollisten lukujen "alkusegmenttitopologia", jossa avoimia ovat joukot $\{0,1,...,n\}$ kaikilla termin $n$ arvoilla on $T_{0}$ mutta ei $T_{1}$.

Äärettömän joukon kofiniittinen topologia on $T_{1}$ mutta ei $T_{2}$.

Tyyppiesimerkki $T_{2}$-topologiasta on reaalilukujen tavallinen topologia. Siinä avoimia ovat avoimet välit ja niiden unionit.