Eisensteinin kokonaisluku

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiohilan.

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω2}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.