Dualiteetti (matematiikka)

Dualiteetti muuntaa matematiikassa käsitteet, lauseet tai matemaattiset rakenteet toisiksi käsitteiksi, lauseiksi tai rakenteiksi yksi-yhteen, involuutio-operaation avulla. Tämä merkitsee, että jos A:n duaali on B, niin B:n duaali on A.. Tällaisilla involuutioilla on joskus kiintopiste (tai useita) eli objekti A, jonka duaali on A.

Olion duaalia ajatellaan joskus olion peilikuvana (abstraktissa merkityksessä).^lähde? Duaalisia käsitteitä on myös verrattu saman kolikon kahteen puoleen.

Kategoriateorian näkökulmasta dualiteettia voidaan pitää myös funktorina, ainakin vektoriavaruuksien maailmassa.^lähde?

Johdantoesimerkkejä

Osajoukon komplementti

Yksinkertainen dualiteetti syntyy tarkastelemalla kiinteän joukon S osajoukkoja. Minkä tahansa osajoukon A ⊂ S komplementti $A^{c}$ koostuu kaikista niistä S:n alkioista, jotka eivät sisälly joukkoon A. Se on jälleen S:n osajoukko. Komplementin ottamisella on seuraavat ominaisuudet:

• Soveltamalla sitä kahdesti saadaan takaisin alkuperäinen joukko eli $(A^{c})^{c}=A$. Tähän viitataan sanomalla, että komplementin ottooperaatio on involuutio .
• Joukkojen A ⊂ B inkluusio muutetaan inkluusioksi vastakkaiseen suuntaan $B^{c}\subset A^{c}$
• Olkoot A ja B joukon S osajoukkoja. Tällöin $A\subset B^{c}$ jos ja vain jos $B\subset A^{c}$.

Tämä dualiteetti ilmenee topologiassa dualiteettina jonkin kiinteän topologisen avaruuden X avoimen ja suljetun osajoukon välillä: joukon X osajoukko U on suljettu, jos ja vain jos sen komplementti X :ssä on avoin. Tästä johtuen monet lauseet suljetuista joukoista ovat duaalisia avoimista joukoista tehtyjen lauseiden kanssa. Esimerkiksi mikä tahansa avointen joukkojen yhdiste on avoin, joten duaalisesti mikä tahansa suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Joukon sisäjoukko on sen sisältämä suurin avoin joukko, ja joukon sulkeuma on pienin sen sisältävä suljettu joukko. Dualiteetin vuoksi minkä tahansa joukon U sisäjoukon komplementti on yhtä suuri kuin joukon U komplementin sulkeuma.

Tunnetun esimerkin dualiteetista muodostavat projektiivisen tason pisteet ja suorat. Dualiteettiperiaatteen mukaa jokaista projektiivisen geometrian lausetta vastaa duaalilause, jossa sanat piste ja suora on vaihdettu keskenään ja tehty tarvittavat kieliopilliset muutokset. Esimerkiksi lauseet kahden pisteen kautta kulkee vain yksi suora ja kaksi suoraa leikkaa toisensa vain yhdessä pisteessä ovat toistensa duaalilauseita.

Duaaliavaruus

Algebrallinen duaali

Vektoriavaruuden $V$ (algebrallinen) duaaliavaruus on $V^{*}$. Sen alkiot ovat kaikki lineaariset funktionaalit $\Lambda :V\to \mathbb {K}$, missä $\mathbb {K}$ on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus $V$ on määritelty (esim. $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ tai $\mathbb {K} =\mathbb {C}$).

Myös $V^{*}$ on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien $f,g\in V^{*}$ summa $f+g\in V^{*}$ määritellään näin: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ kaikilla $x\in V$.

Topologinen duaali eli jatkuva duaali

Usein duaaliavaruudella tarkoitetaan kuitenkin topologista duaalia eli jatkuvaa duaalia $V'$. Se tarkoittaa niitä algebrallisen duaalin alkioita, jotka ovat jatkuvia. Se on siis jatkuvien lineaaristen funktioiden joukko (vektoriavaruus). Merkintöjä $V'$ ja $V^{*}$ voidaan käyttää kummasta tahansa eri teksteissä.

Topologinen duaali on tietysti määritelty vain silloin, kun $V$ ja $\mathbb {K}$ ovat topologisia avaruuksia, koska muuten jatkuvuutta ei ole määritelty.

Duaalin ja primaalin heikot topologiat

Joskus vektoriavaruudessa käytetään heikkoa topologiaa eli (jommankumman) duaalin indusoimaa topologiaa. Tämä on heikoin topologia, jossa kaikki kyseisen duaalin alkiot ovat jatkuvia. Tällöinkin pitää siis tietää, kummasta duaalista puhutaan.

Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa käytetään heikko-*-topologiaa eli avaruuden $V$ siihen indusoimaa topologiaa.

Ominaisuuksia

Jotkin avaruudesta $\mathbb {R} ^{2}$ tutut ominaisuudet pätevät kaikille vektoriavaruuksille. Esimerkiksi:

Duaalin duaali (eli biduaali) $V^{**}$ on myös vektoriavaruus. Primaalin alkio $v\in V$ on tapana samaistaa biduaalin alkioon $g_{v}:V^{*}\to K$, joka määritellään $g_{v}(f)=f(v)$ kaikilla $f\in V^{*}$. Tämä samaistuskuvaus $G:v\mapsto g_{v}\in V^{**}$ on lineaarinen ja injektiivinen eli (vektori)isomorfismi omalle kuvalleen $G[V]$. Jos V on Hilbertin avaruus (esimerkiksi $\mathbb {R} ^{n}$) ja duaalilla tarkoitetaan jatkuvaa duaalia, se kuva on koko $V^{**}$.

Lineaarikuvaus $L:V\to W$ määrittää toisen lineaarikuvauksen $L^{*}:W^{*}\to V^{*}$ kaavalla $(L^{*}w^{*})v=w^{*}Lv$ jokaiselle duaalin $W^{*}$ alkiolle $w^{*}$. Siis kun $w^{*}\in W^{*}$, selvästikin $L^{*}w^{*}\in V^{*}$. Jos $w^{*}$ ja L ovat jatkuvia, selvästi myös $Lw^{*}:V\to \mathbb {K}$ on jatkuva.

Katso myös

• Duaaliavaruus