Cahenin vakio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Cahenin vakio on määritelty yksikkömurtolukujen muodostaman alternoivana sarjan, ja se on saatu Sylvesterin jonosta. Cahenin vakio on

C = \sum\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0{,}64341054629.

Cahenin vakio on nimetty Eugène Cahenin mukaan, joka tutki sarjaa.

Cahenin vakio on transkendenttinen. (Davison ja Shallit 1991). Se on yksi harvoista transkendenttiluvuista, joiden ketjumurtolukuesitys tunnetaan täysin: Jos muodostetaan sarja

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (A006279 OEIS:sä),

jossa termit muodostavat rekursion

q_{n+2} = q_n^2 q_{n+1} + q_n,

niin Cahenin vakion ketjumurtolukuesitys on

[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\ldots]

(Davison ja Shallit 1991).

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik 111: 119–126. doi:10.1007/BF01332350