Buckinghamin π-teoreema

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = n − k dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0\,\!

missä q_i ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0\,\!

missä p = n − k ja π_i ovat dimensiottomia suureita siten, että

\pi _{i}=q_{1}^{m_{1}}\,q_{2}^{m_{2}}\cdots q_{n}^{m_{n}}

missä eksponentit m_i ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

Esimerkki: matemaattinen heiluri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s²). Malli on muotoa

f(T,M,L,g)=0\,

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

f(\pi )=0\,

missä

\pi =(T)^{m_{1}}(M)^{m_{2}}(L)^{m_{3}}(g)^{m_{4}}\,

=(T)^{m_{1}}(M)^{m_{2}}(L)^{m_{3}}(L/T^{2})^{m_{4}}\,

joillakin m₁…m₄. Tulee siis olla $(s)^{m_{1}}(kg)^{m_{2}}(m)^{m_{3}}(m/s^{2})^{m_{4}}\ =1$ , eli

pituus: $m_{3}+m_{4}\;=\;0$
massa: $m_{2}\;=\;0$
aika: $-2\cdot m_{4}+m_{1}=0$

Tästä voidaan ratkaista, että vain

\pi =(T)^{2}(M)^{0}(L)^{-1}(L/T^{2})^{1}\,

=gT^{2}/L\,

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

f(gT^{2}/L)=0\,

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ .