Buckinghamin π-teoreema

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = n − k  dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

$f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0\,\!$

missä q_i  ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0\,\!$

missä p = n − k ja π_i ovat dimensiottomia suureita siten, että

$\pi _{i}=q_{1}^{m_{1}}\,q_{2}^{m_{2}}\cdots q_{n}^{m_{n}}$

missä eksponentit m_i  ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

Esimerkki: matemaattinen heiluri

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s²). Malli on muotoa

$f(T,M,L,g)=0\,$

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

$f(\pi )=0\,$

missä

$\pi =(T)^{m_{1}}(M)^{m_{2}}(L)^{m_{3}}(g)^{m_{4}}\,$

$=(T)^{m_{1}}(M)^{m_{2}}(L)^{m_{3}}(L/T^{2})^{m_{4}}\,$

joillakin m₁…m₄. Tulee siis olla $(s)^{m_{1}}(kg)^{m_{2}}(m)^{m_{3}}(m/s^{2})^{m_{4}}\ =1$, eli

• pituus: $m_{3}+m_{4}\;=\;0$
• massa: $m_{2}\;=\;0$
• aika: $-2\cdot m_{4}+m_{1}=0$

Tästä voidaan ratkaista, että vain

$\pi =(T)^{2}(M)^{0}(L)^{-1}(L/T^{2})^{1}\,$

$=gT^{2}/L\,$

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

$f(gT^{2}/L)=0\,$

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on $T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$.

Aiheesta muualla

• Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU), Harald Hanche-Olsen: Buckingham’s pi-theorem (pdf-tiedosto englanniksi)