Binetin–Cauchyn identiteetti

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Binetin-Cauchyn identiteetti)
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Binetin–Cauchyn identiteetti, joka on nimetty Jacques Philippe Marie Binetin ja Augustin-Louis Cauchyn mukaan, on yhtälö algebrassa.

jossa ai, bi, ci ja di, kaikilla i:n arvoilla, ovat reaalilukuja. Sama yhtälö pätee kompleksiluvuilla ja yleisemmin kaikissa kommutatiivisissa renkaissa.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Laskemalla auki yhtälön viimeisen termin binomitulo, saamme

jossa toinen ja neljäs termi ovat toistensa vastaluvut, jotka on lisätty yhtälöön, jotta se pystytään saattamaan seuraavaan muotoon:

Tästä i:llä indeksoidut termit osittelemalla saadaan alkuperäisen yhtälön ensimmäiset kaksi termiä, joka päättää todistuksen.

Binetin–Cauchyn identiteetti kolmessa ulottuvuudessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun n = 3, ensimmäinen ja toinen termi vastaavat pistetulojen tuloja, kun taas kolmas termi vastaa ristitulojen pistetuloa. Tämä voidaan merkitä