Arkhimedeen lause

Reaaliluvun B ja kokonaisluvun A suuruudet on ilmaistu janan pituuksilla. Kokonaisluvun A moninkerrat ovat myös kokonaislukuja, joten latomalla peräkkäin lukujen A janoja saadaan lopulta niin pitkä kokonaisluvun nA jana, että se on pitempi jana (luku) kuin reaaliluvun B jana eli lukuina ilmaistuna nA > B.

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua r kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku k siten, että

$k>r$.

Todistus

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla E ja jotain sen ylärajaa kirjaimella r. Tällöin joukko E määritellään seuraavasti E =: {m kuuluu kokonaislukuihin | m ≤ r} (r reaaliluku). Koska joukko E on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, G =: sup E. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon E alkio x siten että x > G - 1/2. Tällöin x on joukon E maksimi. Jos x ei olisi joukon E maksimi, olisi olemassa joukon E alkio y siten, että y ≥ x + 1 > G , mikä taasen olisi ristiriita, koska G (= sup E) ≥ x, kaikilla x kuuluu joukkoon E.

Jos r < 0, on triviaalisti 1 haluttu luku k. Voidaan siis olettaa, että r ≥ 0. Merkitään nyt joukkoa S =: {k kuuluu kokonaislukuihin | k ≤ r } eli S on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen mukaan joukolla S on maksimi, merkitään W =: max S. Valitaan k = W + 1. Nyt k ei voi kuulua S:ään ja k > r (jos ei, niin k ≤ r eli k kuuluisi joukkoon S, mikä on ristiriita).

Arkhimedeen lauseesta seuraa, että jokaista reaalilukua x > 0 kohtaan on olemassa luonnollinen luku n siten, että x > 1/n.

Todistus:

Olkoon x > 0 reaaliluku. Arkimedeen lauseesta seuraa, että on olemassa luonnollinen luku n siten että n > 1/x (koska 1/x on reaaliluku sekä positiivinen). Tästä seuraa suoraan, että x > 1/n.

Seurauslauseita

Kahden erisuuren reaaliluvun (a, b) välissä on aina rationaaliluku (r) sekä irrationaaliluku (i) ja molempia vieläpä äärettömän monta eli b > a, b > r > a, b > i > a.

Todistus:

Merkitään x =: b - a, (x > 0). Arkhimedeen lauseesta seuraa, että on olemassa luonnollinen luku n siten että: x > 1/n (> 0). Joukolla E := {k kuuluu kokonaislukuihin | k >= nb} on olemassa minimiarvo. Merkitään p = min E. Nyt p - 1 ei kuulu joukkoon E ja täytyy myös päteä p - 1 < nb. Eli (p - 1)/n < b. Nyt r := (p - 1)/n on etsitty rationaaliluku.

p/n ≥ b ⇒ p/n - x ≥ b - x = a. p/n - 1/n > p/n - x ≥ a

joten

b > p/n - 1/n > a.

Osoitetaan, että kyseisiä rationaalilukuja on äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään lukuja mikä tahansa haluttu lukumäärä n.

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku r₁ siten että b > r₁ > a.

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon [b > r > a] on olemassa n - 1 kappaletta (⇐⇒ b > r_n-1 > ... > r₁ > a)

Induktio-askel: on olemassa (edellä todistetun lauseen nojalla) luku r_n siten että b > r_n > r_n-1 (> a) ⇒ haluttuja lukuja löydetään n kappaletta (b > r_n > ... r₁ > a) valittiin n kuinka suureksi tahansa.

Etsitään lukujen a ja b välistä irrationaaliluku:

Yllä olevan todistuksen nojalla on olemassa kaksi rationaalilukua r₁ ja r₂ siten, että a < r₁ < r₂ < b. Merkitään s =: r₂ - r₁ eli s on positiivinen rationaaliluku. Nyt 0 < s/sqr(2) < s. Merkitään z =: r₁ + s/sqr(2) ⇒ a < z < b ja z on irrationaaliluku. Yllä olevan induktion kaltaisella todistuksella osoitetaan, että irrationaalilukuja löydetään rajattomasti.

Katso myös

• Täydellisyysaksiooma
• Yläraja