Adelen rengas

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lukuteoriassa adelen rengas on topologinen rengas, joka on rakennettu joko rationaalilukujen kunnan päälle tai yleisemmin algebrallisen lukukunnan päälle. Se sisältää kaikki kyseisen kunnan täydellistymät.

Sana adele on lyhenne sanoista additiivinen idele. Adeleita kutsuttiin ennen valuaatiovektoreiksi tai uudelleenosituksiksi ennen 1950-lukua.

Määritelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokonaislukujen proäärellinen täydellistymä \hat{\mathbb{Z}} on käänteinen raja-arvo renkaista \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}:

 \hat{\mathbb{Z}} =\lim_{\leftarrow}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

Kiinalaisen jäännöslauseen mukaan se on isomorfinen kaikkien p-adisten lukujen renkaiden tulon

 \hat{\mathbb{Z}} = \prod_{p} \mathbb{Z}_p

kanssa.

Kokonaisadeleiden rengas AZ on tulo

  \mathbb{A}_\mathbb{Z} = \mathbb{R} \times \hat{\mathbb{Z}}

Rationaaliadeleiden rengas AQ on tensoritulo

  \mathbb{A}_\mathbb{Q} =\mathbb{Q}\otimes \mathbb{A}_\mathbb{Z}

(topologisoitu siten, että AZ on avoin alirengas). Yleisemmin adeleiden rengas AK, missä K on mielivaltainen algebrallinen lukukunta, on tensoritulo

  \mathbb{A}_\mathbb{K} =\mathbb{K}\otimes \mathbb{A}_\mathbb{Z}

(topologia annettu ottamalla tulo AQ:sta deg(K) kertaa).