Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion
L
(
θ
;
X
)
{\displaystyle L(\theta ;X)}
θ
{\displaystyle \theta }
Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin
θ
{\displaystyle \theta }
suurimman uskottavuuden estimaatti .
Olkoon otos
X
{\displaystyle X}
L
(
θ
;
X
)
{\displaystyle L(\theta ;X)}
V
{\displaystyle V}
ketjusäännön avulla:
V
≡
V
(
θ
,
X
)
=
∂
∂
θ
log
L
(
θ
;
X
)
=
1
L
(
θ
;
X
)
∂
L
(
θ
;
X
)
∂
θ
.
{\displaystyle V\equiv V(\theta ,X)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}
Ominaisuuksia
Keskiarvo
Pistemääräfunktion
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
L
(
θ
;
x
)
=
f
(
x
;
θ
)
{\displaystyle L(\theta ;x)=f(x;\theta )}
E
(
V
|
θ
)
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
(
∂
∂
θ
log
f
(
x
;
θ
)
)
f
(
x
;
θ
)
d
x
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
f
(
x
;
θ
)
f
(
x
;
θ
)
d
x
{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx}
mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö ), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:
E
(
V
|
θ
)
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
∂
f
(
x
;
θ
)
∂
θ
d
x
=
∂
∂
θ
∫
x
=
−
∞
+
∞
f
(
x
;
θ
)
d
x
=
∂
∂
θ
1
=
0.
{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}
Varianssi
Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään
I
(
θ
)
{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}
Fisher-informaatio esittää muodossa:
I
(
θ
)
=
E
{
[
∂
∂
θ
log
L
(
θ
;
X
)
]
2
|
θ
}
.
{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}
Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics , Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
Schervish, Mark J.: Theory of Statistics , s. kappale 2.3.1. New York: Springer, 1995. ISBN 0-387-94546-6 
![{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287165d625687ca77c4ac00bdd234649fdc1138f)