Henstock–Kurzweil-integraali

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Matematiikassa Henstock-Kurzweilin integraali, tunnettu myös nimillä Denjoyn integral ja Perronin integraali, on Riemannin integraalin yleistys. Se on myös toisinaan kätevämpi kuin Lebesguen integraali.

Integraalin määritteli ensimmäisen kerran Arnaud Denjoy vuonna 1912. Denjoy oli kiinnostunut integraalista, jolla voitiin integroida funktion

tyyppisiä funktioita. Tällä funktiolla on singulariteetti nollassa eikä funktio ole Lebesgue-integroituva. Vaikuttaa kuitenkin luonnolliselta integroida funktiota lukuun ottamatta väliä ja tämän jälkeen ε → 0+ (tätä kutsutaan integraalin pääarvoksi tai ehdolliseksi suppenemiseksi. Denjoyn ja Lebesguen integraalin määritelmät yhtyvät positiivisilla funktioilla.

Yrittäessään luoda yleistä teoriaa Denjoy käytti transfiniittistä induktiota erityyppisille singulaaripisteille, ja tämä teki integraalin määritelmän varsin monimutkaiseksi Nikolai Luzin ja Oskar Perron koettivat myös määritellä integraalia yksinkertaisemmin. Matemaatikoilta kesti hetken aikaa huomata, että Perronin ja Denjoyn integraalit ovat samat. Vuonna 1957 tšekkiläinen matemaatikko Jaroslav Kurzweil keksi integraalille elegantin määritelmän, joka oli luonteeltaan samanlainen kuin Riemannin integraali. Kurzweilin määritelmä sai jotkin yliopiston lehtorit harkitsemaan voitaisiinko uutta integraali käyttää differentiaali- ja integraalilaskennan peruskursseilla, mutta tämä ajatus ei lyönyt itseään läpi.

Toinen Henstockin integraalin ominaisuus on se, että jokainen funktio, joka on jonkin toisen funktion derivaatta, on integroituva, joten analyysin peruslause on voimassa Henstockin integraalille.

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Henstockin määritelmä on seuraava. Olkoon P välin [a, b] jako, toisin sanoen

ja positiivinen funktio

,

jota kutsutaan mitaksi. Sanotaan, että P on -hieno jos

.

Jaolle P ja funktiolle

määritellään Riemannin summa kaavalla

Määritellään nyt annetulle funktiolle

mittaintegraali I siten, että kaikille on olemassa siten, että kaikilla -hienoilla P on voimassa

Riemannin integraali voidaan tulkita Henstockin-Kurzweilin integraalin siinä erikoistapauksena, missä sallitaan vain vakiomitat. Huomaa, että Cousinin lemman mukaan kaikilla mitoilla on olemassa -hieno ositus.

  • Russell A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, 4. ISBN 0-8218-3805-9

Aiheesta muualla

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]