Youngin epäyhtälö

Matematiikassa Youngin epäyhtälön mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b, p ja q, joille 1/p + 1/q = 1, on voimassa

$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$

Yhtäsuuruus on voimassa kun $a^p = b^q$.

Youngin epäyhtälö on erikoistapaus painotetusta aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.

Käyttö

Youngin epäyhtälöä käytetään todistamaan Hölderin epäyhtälö.

Todistus

Tiedetään, että $f(x) = e^x$ on konveksi, sillä sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen. Siten

$ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}$.

Tässä on käytetty konveksin funktion määritelmää:

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ kaikilla 0≤t≤1.