Youngin epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Youngin epäyhtälön mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b, p ja q, joille 1/p + 1/q = 1, on voimassa

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

Yhtäsuuruus on voimassa kun a^p = b^q.

Youngin epäyhtälö on erikoistapaus painotetusta aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Youngin epäyhtälöä käytetään todistamaan Hölderin epäyhtälö.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tiedetään, että f(x) = e^x on konveksi, sillä sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen. Siten

ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}.

Tässä on käytetty konveksin funktion määritelmää:

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y) kaikilla 0≤t≤1.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

http://math.stackexchange.com/questions/259826/purely-algebraic-proof-of-youngs-inequality Erilaisia todistuksia Youngin epäyhtälölle (englanniksi)