Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislakia eli keskivirheen kasautumislakia käytetään, kun mittaustuloksista ja niiden virheistä lasketaan jokin toinen suure ja sille virhe. Virheellä ei tässä tarkoiteta arkikielestä tuttua virhettä vaan jokaiseen mittaukseen liittyvää epätarkkuutta ja tuloksen epävarmuutta. Virhe kuvaa tässä tuloksen sisäistä tarkkuutta (englanniksi precision).

Virhettä merkitään symbolilla $\Delta$, siten että $x$:n virhe on $\Delta x$. Suure $x$ voi olla mikä tahansa suure, jonka virhettä halutaan kuvata. Esimerkiksi jännite $U$, jolloin jännitteen virhe on $\Delta U$. Jos on mitattu useampaan kertaan samaa suuretta, esimerkiksi johonkin tiettyyn matkaan kulunut aika, saadaan jakauma mittaustuloksia, jotka usein ovat normaalijakautuneita. Tällöin jakauman otoskeskiarvo on mittaustulos, jonka virhe on otoshajonta.

Esimerkki. On haluttu mitata kappaleen nopeus $v$ mittaamalla kappaleen kulkema matka $s$ ja matkaan kuluttama aika $t$. Kappaleen nopeus $v = s/t$, mutta mikä on tuloksen epävarmuus? Matkan ja ajan virheet ($\Delta s$ ja $\Delta t$) tunnetaan (esimerkiksi mittaustarkkuudesta), joten oikea tapa menetellä on laskea nopeuden virhe käyttäen virheen kasautumislakia, jossa virhe kasautuu. Nopeuden virhe siis nimenomaan ei ole suoraan $\Delta v = \Delta s/\Delta t$ vaan jotain muuta.

Matemaattinen esitys

Olkoon $f(x_1,x_2,...,x_n)$ funktio, joka riippuu $n$:stä muuttujasta $x_1,x_2,...,x_n$. Kullakin muuttujalla on virhe ($\scriptstyle \Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n$) eli jokainen muuttuja voidaan ilmaista muodossa $\scriptstyle x_i \pm \Delta x_i$.

Jos muuttujat ovat riippumattomia, $f$:n epävarmuus $\Delta f$ johtuu jokaisen muuttujan yksittäisestä virheestä $\Delta x_{i}$ ja se voidaan laskea yhtälöllä:

$\Delta f = \Delta f \left(x_1, x_2, ..., x_n, \Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n \right) = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i \right)^2} \,$,

missä $\scriptstyle \frac{\partial f}{\partial x_i}$ on funktion $f$ osittaisderivaatta muuttujan $x_{i}$ suhteen.

Jos muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia täytyy ottaa huomioon jokaisen muuttujaparin välinen kovarianssi $\scriptstyle C_{i,k} = \textrm{cov}(x_{i},x_{k})\$ :

$\Delta f = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_k}C_{i,k} \right)}\,$,

missä $C_{i,i} = \textrm{var}(x_{i}) = \Delta x_{i}^2$.

Lasketun tuloksen $f$ epävarmuus voidaan nyt ilmaista $\Delta f$:n avulla $\scriptstyle f \pm \Delta f\$.

Tuloksen pyöristäminen

Tulos ja sen virhe esitetään lopullisessa muodossaan aina pyöristettynä samaan tarkkuuteen. Esimerkiksi, jos tulokseksi on laskettu T = 3,058 s ja virheeksi ΔT = 0,987 s, tulee tulos pyöristää T = 3 s ja virhe ΔT = 1 s. Virhe siis määrää kuinka monta desimaalia tuloksesta ilmoitetaan. Yleensä tapana on ilmoittaa virhe (ja tulos) korkeintaan 15 yksikön tarkkuudella. Esimerkiksi 1,06 m$\pm$0,15 m on oikein pyöristetty tai 0,97 m$\pm$0,11 m, mutta 2,17 m$\pm$0,17 m on väärin, sillä virhe on 17 yksikköä, mikä on enemmän kuin 15 yksikköä. Oikea pyöristys olisi 2,2 m$\pm$0,2 m.

Pyöristys tehdään aina tarkimman arvon perusteella. Jo pyöristettyä tulosta ei siis enää uudelleen pyöristetä vaan pyöristys tehdään alkuperäisestä tuloksesta. Esimerkiksi välituloksia ei pyöristetä. Jos aluksi virheen tiedetään olevan 0,1567 m ja se pyöristetään kahteen merkitsevään desimaaliin 0,16 m. Uudelleen pyöristäminen aiheuttaisi pyöristyksen 0,2 metriin, vaikka oikea pyöristys pyöristämättömästä virheestä antaa pienemmän virheen 0,15 m (ja samalla tarkemmin ilmoitetun tuloksen!). Tulosta ja virhettä ei pidä pyöristää turhaan ylöspäin, jotta sitä ei keskimäärin yliarvioida tulossarjoissa.

Esimerkkilasku: resistanssin epävarmuus

Halutaan laskea resistanssi $R$, kun on mitattu vastuksen läpi kulkeva virta $I$ ja sen yli oleva jännite $U$. Ohmin lain mukaan $R = U/I$.

Mittausepävarmuudet tunnetaan suoraan vaikkapa yleismittarin asteikon tarkkuudesta $I \pm \Delta I$ ja $U \pm \Delta U$, jolloin laskettu epävarmuus $\Delta R$ saadaan

$\Delta R = \left( \left(\frac{\Delta U}{I}\right)^2+\left(\frac{U}{I^2}\Delta I\right)^2\right)^{1/2} = R\sqrt{\left(\frac{\Delta U}{U}\right)^2+\left(\frac{\Delta I}{I}\right)^2}.$

Yksinkertaisemmin ilmaistava suhteellinen virhe $\Delta R / R$ on siis neliöjuuri mitattujen suureiden suhteellisten virheiden neliöiden summasta.

Sijoitetaan laskuun vielä numerot. Oletetaan, että jännite $U = 5{,}1 \pm 0{,}1\ \textrm{V}$ ja virta $I = 2{,}45 \pm 0{,}02 \textrm{A}\$. Tällöin resistanssi

$R = \frac{U}{I} = \frac{5{,}1\ \textrm{V}}{2{,}45\ \textrm{A}} = 2{,}0816\ \Omega$

ja resistanssin virhe

$\Delta R = 2{,}08\ \Omega \sqrt{\left(\frac{0{,}1\ \textrm{V}}{5{,}1\ \textrm{V}}\right)^2+\left(\frac{0{,}02\ \textrm{A}}{2{,}45\ \textrm{A}}\right)^2} = 0{,}044 \ \Omega.$

Tulos ilmoitetaan pyöristettynä $\Delta R = 2{,}08 \pm 0{,}05\ \Omega$.

Aiheesta muualla

• Opas mittaustulosten käsittelyyn Kuopion yliopiston Fysiikan laitoksen harjoitustyömoniste