Vietan kaavat

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540-1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa.

Kaavat

Polynomilla, jonka asteluku on n

$p(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 \,$

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja a_n ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x₁, x₂, ..., x_n(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { a_k } ja sen juurien { x_i } summien ja tulojen välille seuraavasti:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

Esimerkki

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille $p(X)=aX^2 + bX + c$, jonka juuret $x_1, x_2$ toteuttavat yhtälön $p(X)=0$ pätee

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

Kolmannen asteen polynomille $p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d$, jonka juuret $x_1, x_2, x_3$ toteuttavat yhtälön $p(X)=0$ pätee

$x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}.$

Todistus

Polynomi p(X) voidaan juuriensa $x_1, x_2, \dots, x_n$ avulla kirjoittaa seuraavasti

$a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n) = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n) =a_n[X^n-(x_1+x_2+\cdots+x_n)X^{n-1}+(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n)X{n-2}+\cdots+(-1)^n(x_1x_2\cdots{x_n})]$

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

Lähteet

• H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly, 1930. Mathematical Association of America.

• Ernest Vinberg: A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.

• Dušan Djukić: The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006.