Vietan kaavat

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540-1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa.

Kaavat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomilla, jonka asteluku on n

p(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 \,

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja an ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x1x2, ..., xn(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { ak } ja sen juurien { xi } summien ja tulojen välille seuraavasti:

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}


Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille p(X)=aX^2 + bX + c, jonka juuret x_1, x_2 toteuttavat yhtälön p(X)=0 pätee

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.


Kolmannen asteen polynomille p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d, jonka juuret x_1, x_2, x_3 toteuttavat yhtälön p(X)=0 pätee

 x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomi p(X) voidaan juuriensa x_1, x_2, \dots, x_n avulla kirjoittaa seuraavasti

\sum_{i=0}^n a_iX^i = a_n\prod_{i=1}^n(X-x_i)=a_n[X^n-(\sum_{i=1}^n x_i)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n(x_1x_2\cdots{x_n})]

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly, 1930. Mathematical Association of America.
  • Ernest Vinberg: A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.
  • Dušan Djukić: The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006.