Vedamatematiikka

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vedamatematiikka on kokoelma pikalaskemisen sääntöjä. Se perustuu 16 sutraan ja 13 upa-sūtraan eli seurauslauseeseen, joiden väitetään kattavan koko matematiikan. Ne esitti 1900-vuosisadan alussa hinduoppinut ja matemaatikko Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja.

16 Sūtraa ja upa-sūtrat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sūtrat eli kaavat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sūtrien nimien suomennokset on tehty englanninkielisistä nimistä.

  1. EKĀDHIKENA PŪRVEŅA (suom. Yhtä suuremmalla kuin edellinen)
  2. NIKHILAM NAVATAS’CARAMAM DASATAH (suom. "Kaikki muut yhdeksästä ja viimeinen kymmenestä")
  3. ŨRDHVA TIRYAGBHYĀM (suom. "Pystyyn ja ristiin")
  4. PARĀVARTYA – YOJAYET (suom. "Muunna ja sovella")
  5. SŨNYAM SĀMYASAMUCCAYE (suom. "Samuccaya on sama, siis Samuccaya on nolla.")
  6. ĀNURŨPYE ŚŨNYAMANYAT (suom. "Jos toinen on suoraan verrannollinen, toinen on nolla.")
  7. SAŃKALANA – VYAVAKALANĀBHYAM (suom. "Yhteenlaskulla ja vähennyksellä.")
  8. PŨRANĀPŨRAŅĀBHYĀM (suom. "Täydentämällä tai epätäydentämällä.")
  9. CALANA - KALANĀBHYĀM (suom. "Peräkkäinen liike")
  10. EKANYŨŅENA PŨRVENA (suom. "Yksi vähemmän kuin aikaisemmin")
  11. YĀVADŨNAM (suom. "Vajaus")
  12. VYAŞŢISAMAŞŢIH (suom. "Kokonaisuus yhtenä ja yksi kokonaisuutena")
  13. ŚEŞĀNYAŃ KENA CARAMEŅA (suom. "Jäännös viimeisellä")
  14. SOPĀNTYADVAYAMANTYAM (suom. "Viimeinen ja kaksinkertaisena viimeistä edellinen")
  15. GUŅITASAMUCCAYAH (suom. "Koko tulo on sama")
  16. GUŅAKA SAMUCCAYAH (suom. "Tekijöiden kerääminen")

Upa-sūtrat tai seurauslauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Upa-sūtrat ovat seurauksia tai edistyneitä sovelluksia sūtrista.

  1. ĀNURŨPYENA (suom. "Verranto")
  2. S’ISYATE S’ESASAMJ ÑAH
  3. ĀDYAMĀDYENĀNTYA - MANTYENA (suom. "Ensimmäinen ensimmäisellä ja viimeinen viimeisellä")
  4. KEVALAIH SAPTAKAMGUNYAT
  5. VESTANAM
  6. YAVADŨNAM TAVADŨNAM
  7. YĀVADŨNAM TĀVADŨNĪKŖTYA VARGAÑCA YOJAYET (suom. "Vähennä vajaus luvusta ja kirjoita sen viereen vajauksen neliö")
  8. ANTYAYOR DAŚAKE′PI (suom. "Viimeiset yhteensä kymmenen")
  9. ANTYAYOREVA (suom. "Vain viimeiset termit")
  10. SAMUCCAYAGUNITAH
  11. LOPANASTHĀPANĀBHYĀM (suom. "Poista muunnoksella ja säilytä")
  12. VILOKANAM (suom. "Havainnointi")
  13. GUNÌTA SAMUCCAYAH - SAMUCCAYA GUŅÌTAH (suom. "Kertoimien summien tulo on summan kertoimien summa")

Esimerkkejä sūtrien soveltamisesta ja niiden algebrallisia todistuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sūtrat ja upa-sūtrat ovat oleellisesti muistisääntöjä ja laskuteknisiä ohjeita, joiden tarkoitus on helpottaa ja nopeuttaa käytännön laskemista. Siksi ne ymmärtää parhaiten esimerkkien avulla.

Yhtä suuremmalla kuin edellinen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sūtra EKĀDHIKENA PŪRVEŅA eli suomeksi "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" on jako- ja kertolaskuun liittyvä laskutekninen ohje. Sillä on kaksi sovellusta.

Kertolasku: Numeroon 5 päättyvien lukujen neliöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan 25².

Luku on 25. Viimeinen numero on siis 5 ja edellinen on 2. Nyt "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" tarkoittaa lukua 2+1=3. Nyt kerrotaan "edellinen" numero (2) "yhtä suuremmalla" (3). Näin saadaan tulon vasen puoli: 2 * 3 = 6. Tulon oikea puoli on 5² = 25.

Siis 25² = 2 X 3 / 25 = 625. (Merkki "/" ei tässä ole jakomerkki; se vain erottaa vasemman ja oikean puolen.)

Samoin,

35²= 3 X (3+1) /25 = 3 X 4/ 25 = 1225;

105²= 10 X 11/25 = 11025;

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käytetään kaavaa (ax + b)² = a²x² + 2abx + b².

Sijoitetaan kaavaan x = 10 ja b = 5. Tällöin

(10a + 5)² = 10²a² + 2* 10a * 5 + 5²
= 10²a² + 10²a + 5²
= 10²(a²+ a ) + 5²
= 100a (a + 1) + 25.

Nyt tulon vasen puoli on a(a + 1) ja oikea puoli 25. M.O.T.


Jakolasku: Yhdeksään päättyvien lukujen yksikkömurrot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

"Yhtä suuremmalla kuin edellinen" -sutran avulla voidaan laskea helposti muotoa 1/a9, missä a on luonnollinen luku, olevien murtolukujen desimaalikehitelmät. Tämä voidaan tehdä sekä jakamalla että kertomalla. Tässä esitellään jakolasku [1].

Esimerkissämme nimittäjä on 19, joten on purva ("edellinen") 1 ja yhtä suurempi on 1+1=2.

Sovelletaan sutraa tässä kontekstissa. Sovitaan lisäksi merkinnästä a;b, jossa a tarkoittaa osamäärää ja b jakojäännöstä.

Askel 1: Jaa 1 luvulla 20, eli 1:20 = 0;1. Saadaan 0.10.

Askel 2: 10:2=5;0. Saadaan 0,005.

Askel 3: 5:2 = 2;1. Saadaan 0,0512.

Askel 4: 12:2 = 6;0. Saadaan 0,05206.

Askel 5: 6:2 = 3;0. Saadaan 0,052603.

Askel 6: 3:2 = 1;1. Saadaan 0,0526311.

Askel 7: 11:2 = 5;1. Saadaan 0,05263115.

Askel 8: 15:2 = 7;1. Saadaan 0,052631517.

Askel 9: 17:2 = 8;1. Saadaan 0,0526315718.

Askel 10: 18:2 = 9;0. Saadaan 0,05263157809.

Askel 11: 9:2 = 4;1. Saadaan 0,052631578914.

Askel 12: 14:2 = 7;0. Saadaan 0,0526315789407.

Askel 13: 7:2 = 3;1. Saadaan 0,05263157894713.

Askel 14: 13:2 = 6;1. Saadaan 0,052631578947316.

Askel 15: 16:2 = 8;0. Saadaan 0,0526315789473608.

Askel 16: 8:2 = 4;0. Saadaan 0,05263157894736804.

Askel 17: 4:2 = 2;0. Saadaan 0,052631578947368402.

Askel 18: 2:2 = 1;0. Saadaan 0,0526315789473684201.


Algoritmin suoritus voidaan keskeyttää tähän, koska seuraavaksi suoritetaan 1:2, jolloin ollaan taas askeleessa 1. Vastaus on siis \frac{1}{19} = 0{,}052631578947368421052631578947368421....

Huomataan myös, että vastaus voidaan lukea helposti askelien osamääristä: 0,5,2,6, jne.


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Laskutavat esitellään P. Satyanarayana Sarman teoksen Vedic Mathematics – Methods verkkoversiossa sivulla http://www.vedamu.org/Mathematics/MathematicalFormulae/Sutras/sutras.asp otsikko ii) Vulgar fractions whose denominators are numbers ending in NINE

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.