Tiheä joukko

Intuitiivisesti topologisen avaruuden X osajoukko A on tiheä X:ssä jos jokaista X:n pistettä voidaan approksimoida jollakin A:n pisteellä. Formaalisti, A on tiheä X:ssä jos jokaisen X:n pisteen x ympäristö sisältää ainakin yhden A:n pisteen.

Yhtäpitävästi A on tiheä X:ssä jos X:n ainoa suljettu joukko, joka sisältää A:n on X. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että A:n sulkeuma on X tai että A:n komplementin sisäpisteiden muodostama joukko on tyhjä.

Metrisissä avaruuksissa on voimassa seuraava tulos: Metrisen avaruuden X joukko A on tiheä jos kaikilla X:n alkioilla x ainakin yksi A:n alkioista koostuva jono suppenee kohti x:ää.

Esimerkkejä

• Jokainen topologinen avaruus on tiheä itsessään.
• Rationaali- ja irrationaaliluvut ovat reaalilukujen tiheä osajoukko. Tämä osoittaa, että tiheitä aitoja osajoukkoja voi olla useita.
• Suljetulla reaalivälillä jatkuvat funktiot ja metriikka, jossa etäisyyden määrää funktioiden arvojen suurin ero, muodostavat topologisen avaruuden. Rationaalikertoimiset reaalipolynomit ovat tämän avaruuden tiheä osajoukko. Tämä tarkoittaa, että suljetulla välillä jatkuvaa funktiota voidaan approksimoida mielivaltaisella tarkkuudella polynomien avulla.
• Metrinen avaruus M on tiheä täydellistymässään.

Katso myös

• separoituva avaruus, avaruus, jossa on numeroituva tiheä osajoukko
• ei-missään tiheä joukko, vastakohta tiheydelle

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15, 152 sivua. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.