Tiheysmatriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tiheysmatriisi kuvaa kvanttisysteemin tilaa yleisemmin kuin pelkkä aaltofunktio, sillä se sallii myös sekoitetut tilat. Tiloja, joita voidaan kuvata pelkällä aaltofunktioilla sanotaan puhtaiksi. Tiheysmatriisin käsitettä käytetään erityisesti jollain tapaa avoimissa systeemeissä, joissa perussysteemin ympäristöllä on vaikutusta perussysteemin dynamiikkaan. Tiheysmatriisin avulla kvanttimekaniikasta voidaan myös johtaa useita tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan käsitteitä.

Formaali määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että kvanttisysteemiä kuvaa enintään numeroituva joukko ominaistiloja |i\rangle. Tällöin sen tiheysmatriisi on yleisesti muotoa


\rho=\sum_{ij} w_{ij} |i\rangle \langle j|,

missä w_{ij} ovat kompleksikertoimia. Tiheysmatriisi on hermiittinen ja normalisoituva. Toisin sanoen


w_{ij}^* = w_{ji}

ja


{\rm Tr}[\rho]=\sum_i w_{ii} = 1,

missä Tr on matriisin jälki. Tiheysmatriisin diagonaalialkiot w_{ii} kuvaavat tilojen |i\rangle todennäköisyyksiä, ja ei-diagonaalialkiot tilojen välisiä koherensseja.

Observaabelin O odotusarvo \langle O \rangle voidaan laskea tiheysmatriisista käyttäen kaavaa


\langle O \rangle = {\rm Tr}[\rho \hat{O}] = \sum_{ij} w_{ij} O_{ji},

missä O_{ji} on operaattorin \hat{O} matriisielementti.

Aikakehitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tiheysmatriisi toteuttaa Liouvillen yhtälön


i \hbar \frac{d}{dt} \rho(t) = [H,\rho],

missä \hbar on Diracin vakio ja H on systeemin Hamiltonin operaattori. Avoimissa systeemeissä kiinnostavan osasysteemin tiheysmatriisia tutkittaessa saadaan yllä olevaan yhtälöön ympäristöä kuvaava lisätermi. Tuon lisätermin avulla voidaan tutkia mm. kvanttisysteemin relaksaatiota ja vaihekoherenssin menetystä.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]