Tšebyšovin summaepäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Pafnuti Tšebyšovin mukaan nimetyn Tšebyšovin summaepäyhtälön mukaan jos

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

ja

b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,

on

n \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right).

Vastaavasti jos

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

ja

b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,

on

n \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right).

Tšebyšovin summaepäyhtälön voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön avulla.

Tšebyšovin summaepäyhtälöstä on olemassa myös versio integroituville funktioillle:

Jos f ja g ovat reaaliarvoisia integroituvia funktioita välillä [0,1], jotka ovat molemmat joko kasvavia tai väheneviä, on

 \int fg \geq \int f \int g.\,

Tulos voidaan yleistää minkä tahansa avaruuden integraaleille samoin kuin numeroituvan monelle integrandille.