Syntymäpäiväongelma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Syntymäpäiväongelma on vanha matemaattinen arvoitus. Siitä on useita muunnelmia, mutta keskeinen kysymys kaikissa on seuraava: kuinka monta henkilöä pitää jossakin tilaisuudessa olla koolla, että on yli 50 prosentin todennäköisyys, että ainakin kahdella heistä on sama syntymäpäivä? Oletuksena on, että henkilöiden syntymäpäivät ovat satunnaisia tai tarkemmin sanoen satunnaisia otoksia vuoden päivien tasaisesta jakaumasta. Tämä ei kuitenkaan pidä käytännössä paikkaansa.

Pienehkössä ihmisryhmässä saatetaan joskus todeta hämmästyneenä, että kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä, onhan päiviä sentään 365. Todellisuudessa se henkilöluku, jonka jälkeen on todennäköisempää että kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä kuin että kaikki ovat syntyneet eri päivinä, on yllättävän pieni.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyys sille, että ainakin kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä eri suuruisissa ryhmissä.

On helppo osoittaa, että jo 23 henkilön ryhmässä on todennäköisempää, että ainakin kahdella henkilöllä on sama syntymäpäivä, kuin kaikilla eri. Tämä voidaan tehdä seuraavasti. Lasketaan miten todennäköistä on, että kaikki ovat syntyneet eri päivinä. Saatu todennäköisyys on kysytyn todennäköisyyden komplementin todennäköisyys, joka saadaan vähentämällä laskettu todennäköisyys yhdestä.

Valitaan yksi henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa vuoden 365 päivästä (ei rajoittavia ehtoja). Valitaan toinen henkilö. Hän voi olla syntynyt minä päivänä tahansa paitsi sinä päivänä, jona ensimmäinen henkilö oli syntynyt, eli jonakin vuoden 364 päivästä. Valitaan kolmas henkilö, joka voi olla syntynyt minä päivänä tahansa paitsi niinä, joina 1. ja 2. henkilö ovat syntyneet, eli jonakin muuna vuoden 363 päivästä. Valitaan samoin neljäs, viides ja niin edelleen aina 23. henkilöön asti. Tuloperiaatteen mukaan päivämäärät voi valita

365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot 362 \cdot \ldots \cdot 343

eri tavalla. Kaikkia mahdollisia tapoja on 365^{23} kappaletta. Koska

1 - \frac{365 \cdot 364 \cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}} \approx 0{,}5073 > 0{,}5,

on väite osoitettu.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.