Suoristuva joukko

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Suoristuvat joukot ovat mittateorian sovelluksissa käytettävä joukkotyyppi, joilla on paljon sileiden monistojen ominaisuuksia mittateoreettisessa mielessä. Suoristuvuutta käytetään erityisesti fraktaalien teoreettisessa tutkimuksessa.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon E \subset \R^n ja m \in \N. Nyt joukko E on m-suoristuva, jos on olemassa Lipschitz-kuvaukset f_i : \R^m \rightarrow \R^n, joilla

\mathcal{H}^m (E \setminus \bigcup_{i = 1}^\infty f_i (\R^m)) = 0,

missä \mathcal{H}^m on m-ulotteinen Hausdorffin mitta.

Toisin sanoen m-suoristuvaa joukkoa voidaan approksimoida Lipschitz-kuvausten kuvajoukoilla mittateoreettisessa mielessä tarkasti.

Kirjallisuudessa joukkoa F \subset \R^n sanotaan puhtaasti m-epäsuoristuvaksi, jos jokaisella m-suoristuvalla E \subset \R^n pätee

\mathcal{H}^m (F \cap E) = 0.

Epäsuoristuvuutta ja puhtaasti epäsuoristuvuutta ei tule sekoittaa keskenään. Nimittäin on olemassa joukkoja, jotka eivät ole puhtaasti epäsuoristuvia, mutta ovat epäsuoristuvia (esimerkiksi puhtaasti epäsuoristuvan ja suoristuvan joukon erillinen yhdiste). Toisaalta voidaan osoittaa, että jokainen joukko A \subset \R^n voidaan jakaa puhtaasti m-epäsuoristuvaan ja m-suoristuvaan osaan.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Approksimatiivinen tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon E \subset \R^n, x_0 \in E ja T : \R^m \rightarrow \R^n affiini kuvaus. Olkoon lisäksi 0 < \alpha < 1 ja joukko

S(x_0,T,\alpha) = \{x \in \R^n : d(x,T(\R^m)) \leq \alpha |x-x_0| \} ,

missä d(x,T(\R^m)) = \inf_{y \in T(\R^m)} |x-y| on pisteen x etäisyys joukosta T(\R^m).

Määritellään, että T on joukon E approksimatiivinen tangentti pisteessä x_0, jos jokaisella 0 < \alpha < 1 on raja-arvo

\lim_{r\rightarrow 0^+}\frac{\mathcal{H}^m((E \cap B(x_0,r))\setminus S(x_0,T,\alpha))}{r} = 0 .

Voidaan osoittaa, että m-suoristuvilla joukoilla on approksimatiivinen tangentti \mathcal{H}^m-melkein jokaisessa pisteessä x_0 \in E.