Sumea joukko

Sumea joukko on joukko, jossa joukkoon kuuluvilla alkioilla kuulumisen astetta kuvaa kuuluvuusarvo. Sumean joukon matemaattista käsitteen esitti 1965 azerbaidzanilainen Lotfi A. Zadeh (s. 1921). Hän jatkoi työtään tällä saralla esittämällä vielä 1973 sumean logiikan teorian.

Sumean joukon teoria laajentaa klassisen joukko-opin (Cantor) joukon käsitettä. Kun klassisessa joukko-opissa alkio joko kuuluu joukkoon tai on sen ulkopuolella, eli se noudattaa kaksiarvoista logiikkaa (kts. kolmannen poissulkeva sääntö), niin sumeassa joukossa alkion kuuluvuuden vahvuutta kuvattaan reaaliluvulla, joka kuuluu suljettuun väliin [0,1].

Sumeissa joukoissa kysymys on tietoisesti epätarkkarajaisesta joukosta. Esimerkiksi voimme ottaa kirjojen sumean joukon: ”Kirja käsittelee aihetta x” . Tässä x voi olla mikä tahansa aihe rakkaudesta maanjäristykseen tai ahvenista geenimutaatioon. Kirjan kuuluvuusarvo joukossa voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti: kirjan aihetta x käsittelevien sivujen lukumäärä / sivujen kokonaismäärällä.

Määritelmä

Sumea joukko on pari (A,m), jossa A on joukko ja m kuvaus: A → [0,1]. Kaikille x, jotka kuuluvat A:han on olemassa m(x), alkion x joukkoon kuulumisen aste. Jos $A = {x_1,..,x_n}$ niin tämä (A,m) voidaan merkitä: {$m(x_1)$ /$x_1$,...,$m(x_n)$/$x_n$ }.

Joukkoon kuuluminen

Alkio, jonka arvo kuvauksessa m on 0, ei kuulu sumeaan joukkoon, eli on sen ulkopuolella, ja jos kyseinen arvo on 1, kuuluu kyseinen alkio täydellisesti sumeaan joukkoon. Sumean joukkoa {x kuuluu A:han | m(x) > 0} kutsutaan joukon kannaksi (engl. support) ja joukkoa {x kuuluu A:han | m(x) = 1} joukon ytimeksi (engl. kernel).

Sumeiden joukkojen operaatioita

Sumean joukon $(A, m_A)$ komplementti

c(A) = 1 − $m_A(x)$

Sumeiden joukkojen $(A, m_A)$ ja $( B ,m_B)$ leikkaus

(A ∩ B)(x) = min($m_A$, $m_B$)

Sumeiden joukkojen $(A, m_A)$ ja $( B ,m_B)$ unioni

(A ∪ B)(x) = max($m_A$, $m_B$)

Sumea joukko ja todennäköisyyksien teoria

Sumeat joukot ja todennäköisyyksien teoria eivät ole samaa perhettä, vaikka niin virheellisesti voisi päätellä kuvauksen kuvapisteiden joukosta [0,..,1]. Joukkojen sumeudessa sattumalla ei ole mitään osaa, kun taas todennäköisyyslaskennan teoreettinen lähtökohta on ennalta arvaamaton sattuma.

Katso myös

• Sumea logiikka