Srinivasa Ramanujan

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan (tamiliksi ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜன்) (22. joulukuuta 188726. huhtikuuta 1920) oli intialainen matemaatikko.[1]

Hän julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevällä kannalla, mutta kutsui sitten Ramanujanin Englantiin. Hardy huomasikin nopeasti Ramanujanin kyvyt. Lukua 1729 kutsutaan Hardyn–Ramanujanin luvuksi heidän mukaansa. Luku on tunnettu kaskusta, jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan. Hardy kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa, että luku on pienin kokonaisluku, joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla. Hardy kertoo tästä esseessään Matemaatikon apologia (1940).[2]

Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa ja on kuuluisa lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoista. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollista todistusta, ja todistukset löydettiin vasta myöhemmin.

Matemaattiset tulokset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkeismatematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan todisti monia alkeellisia, mutta kiehtovia tuloksia:

(3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3


\sqrt{(n+a)^2 + x\,a + x\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+n)\,a + (x+n)\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+2n)\,a + (x+2n)\,\sqrt{\dots}}}}
= x\,+\,n\,+\,a.

Hän kehitti monia approksimaatioita piille:

\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+
 \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}}  =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+.

Identiteettejä juurille:

 \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),
 \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right),
 \sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}},
\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.

Kombinatoriikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:

{{m+3}\choose{m}}B_m=\begin{cases} {{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{jos}\ m\equiv 0\pmod{6};\\
{{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{jos}\ m\equiv 2\pmod{6};\\
-{{m+3}\over6}-\sum\limits_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{jos}\ m\equiv 4\pmod{6}.\end{cases}

Äärettömät sarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille:

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.

Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on

 \left [ 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} + \left [1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi}

kaikille \theta, missä \Gamma(z) on gammafunktio. Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille, kuten:

1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}
1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.

Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.

Integraalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten

\int_0^\infty \cfrac{1+{x}^2/({b+1})^2}{1+{x}^2/({a})^2} \times\cfrac{1+{x}^2/({b+2})^2}{1+{x}^2/({a+1})^2}\times\cdots\;\;dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}.

Ketjumurtoluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille:

 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 +                                     {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}
\sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}

missä \varphi=\frac{1+\sqrt5}2 on kultainen leikkaus;

\frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{\ddots}}}}
= \Biggl(\frac{\sqrt{5}}{1+^5\sqrt{5^\frac{3}{4}(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^\frac{5}{2}-1}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\Biggr) \cdot e^{2\pi/\sqrt{5}}.

Q-sarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} z^n
= \frac {(b/a,q,q/az,az;q)_\infty }
{(b,b/az,q/a,z;q)_\infty}

jos |q| < 1 ja |b/a| < |z| < 1.

Rogers-Ramanujanin identiteetit:

G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
	=1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots \,

ja

H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots \,
.

Muita q-sarjoja:

\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5)_\infty^5}{(q)_\infty^6}
\sum_{k=0}^\infty p(7k+5)q^k=7\frac{(q^7)_\infty^3}{(q)_\infty^4}+49q\frac{(q^7)_\infty^7}{(q)_\infty^8}

missä p(n) on partitiofunktio. Tästä saadaan korollaareina kongruenssit

p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5
p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7.

Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:

p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}.

Eisensteinsarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään

L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)
M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)
N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}=E_6(\tau),

silloin on

q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}
q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}
q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}.

Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille. Määritellään


Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hardy, G. H.: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. New York: Chelsea, 1999.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Srinivasa Ramanujan (Dec. 22, 1887 -- April 26, 1920) The Institute of Mathematical Sciences, Madras-600 113.
  2. Hardy 1999, 13, 68

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hakala, Juha T.: Luova prosessi tieteessä. Helsinki: Gaudeamus, 2002. ISBN 951-662-862-1.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]