Separoituva laajennus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kuntateoriassa algebrallista kuntalaajennusta L/K sanotaan separoituvaksi, jos se voidaan muodostaa lisäämällä K:hon K:n suhteen separoituvan polynomin juuria. Tällöin jokaisella L:n alkiolla β on K:n suhteen separoituva minimaalipolynomi.

Separoituvuuden käsite on keskeinen Galois'n teoriassa. Kuntaa sanotaan perfektiksi, jos sen jokainen algebrallinen laajennus on separoituva. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että kunnan jokainen äärellinen laajennus on separoituva. Edelleen kunta F on perfekti, jos ja vain jos

  • F:n karakteristika on nolla tai
  • F:n karakteristika p poikkeaa nollasta ja jokaisella F:n alkiolla on F:ään kuuluva p:s juuri.

Jälkimmäinen ehto on yhtäpitävää sen kanssa, että F:n Frobeniuksen endomorfismi x\mapsto x^p, on automorfismi.

Erityisesti kaikki karakteristikaa nolla olevat kunnat ovat perfektejä samoin kuin äärelliset kunnat. Epäseparoituvuuden vaikutukset näkyvät selvemmin primitiivisen alkion lauseessa ja kuntien tensorituloissa.