Schanuelin konjektuuri

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Schanuelin otaksuma on seuraava transkendenttisten lukujen teoriaan liittyvä avoin ongelma:

Olkoon annettu n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta kompleksilukua z1,...,zn. Tällöin kuntalaajennuksella Q(z1,...,zn,exp(z1),...,exp(zn)) on transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n.

Otaksuman esitti Stephen Schanuel 1960-luvulla ja se löytyy esimerkiksi Serge Langin kirjasta [1]. Otaksumaa ei ole kyetty ratkaisemaan tai osoittamaan epätodeksi.

Jos otaksuma pitää paikkaansa, siitä seuraa muun muassa Lindemannin–Weierstrassin lause, Gelfondin–Schneiderin lause ja useita muita eksponenttifunktioita koskevia trankendenttisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi lukujen π ja e algebrallinen riippumattomuus.

Scott W. Williams [2] on formuloinut seuraavan käänteisen Schanuelin otaksuman:

Olkoon F numeroituva kunta, jonka karakteristika on nolla ja e : FF on homomorfismi additiiviselta ryhmältä (F,+) multiplikatiiviselle ryhmälle (F,·), jonka ydin on syklinen. Oletetaan edelleen, että mitkä tahansa n F:n alkiota x1,...,xn ovat lineaarisesti riippumattomia Q:n suhteen ja Q:n laajennuksen Q(x1,...,xn,e(x1),...,e(xn)) transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n. Tällöin on olemassa kuntahomomorfismi h : EC jolle h(e(x))=exp(h(x)) kaikilla F:n alkioilla x.

Schanuelin otaksuman potenssisarjoille todisti James Ax vuonna 1971.[3] Sen mukaan:

Olkoon annettu mitkä tahansa n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta potenssisarjaa f1,...,fn in tC[[t]]:ssä. Tällöin C(t):n laajennuksen C(t,f1,...,fn,exp(f1),...,exp(fn)) transkendenttinen aste C(t):n suhteen on vähintään n.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Serge Lang. Introduction to Transcendental Numbers. Addison-Wesley 1966, sivut 30-31
  2. Million Bucks Problems
  3. James Ax. On Schanuel's conjectures. Annals of Mathematics (2) 93, 1971, sivut 252-268.