Sarja (matematiikka)

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Sarjan summa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki
Voidaan päätellä, että 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + ... = 0{,}333... = \frac{1}{3}.
Tämän sarjan osasummien jonolla
(0{,}3; 0{,}3 + 0{,}03; 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003;...) = (0{,}3; 0{,}33; 0{,}333; ...)\!
on raja-arvo \frac{1}{3}.
Esimerkki
Sarjojen summia on varmaankin alettu pohtia seuraavanlaisen esimerkin tavoin.
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että
1 = {1\over2} + {1\over4} + {1\over8} + {1\over16} + ...

Sarjan \sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_1+a_2+...+a_n+... osasummia ovat
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
...

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
S=\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k.

  • Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
  • Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

[muokkaa] Aritmeettinen ja geometrinen sarja

Sarja \sum_{}^{} x_n on aritmeettinen, jos lukujono xn on muotoa (x1 + (n − 1)d) eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio d.

Sarja \sum_{}^{} x_n on geometrinen, jos lukujono xn on muotoa (x1qn − 1) eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio q.

[muokkaa] Kaavoja ja sääntöjä

  1. Sarja \sum_{k=1}^{\infty} a_k hajaantuu, jos
    • \lim_{k \to \infty} a_k \ne 0 tai
    • \lim_{k \to \infty} a_k ei ole olemassa.
  2. Aliharmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, 0<p<1 hajaantuu.
  3. Harmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} hajaantuu.
  4. Yliharmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, p>1 suppenee.
  5. Geometrinen sarja \sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1} suppenee, kun | q | < 1 tai a1 = 0.
    • Tällöin \sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1}=\frac{a_1}{1-q}.

[muokkaa] Esimerkkejä

Määritetään sarjan \sum_{k=0}^{\infty} \frac{9}{2^k} summa.

Osasumma S_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{9}{2^k}=9\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k
Summa on geometrinen summa; a_1=1, q=\frac{1}{2}, termejä n + 1.
S_n=9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}.

\lim_{n \to \infty} S_n=\lim_{n \to \infty} 9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} =9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}}{\frac{1}{2}}=9\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}=18

[muokkaa] Sarjakehitelmä

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

[muokkaa] Katso myös

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Sarja_(matematiikka)
Henkilökohtaiset työkalut